Lineare Unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:51 Mi 06.01.2010 | | Autor: | Ultio |
| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum über dem Körper K und seien [mm] v_{1}, v_{2}, v_{3},..., v_{n} \in [/mm] V linear unabhängig. Für welche [mm] \lambda \in [/mm] K sind dann die Vektoren
[mm] v_{1}+ v_{2}, v_{2}+v_{3},v_{3}+v_{4},...,v_{n-1}+ v_{n},v_{n}+ \lambda v_{1}
[/mm]
linear unabhängig? |
Hallo, ich wünsche ein frohes neues Jahr.
Ich hätte da mal eine Frage, dass die oben genannten Vektoren wieder linear unabhängig sind leuchtet mir ja soweit, aber wie komme ich auf das Lambda?
Vielen Dank für jede Antwort.
Mit freundlichen Grüßen
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> Sei V ein Vektorraum über dem Körper K und seien [mm]v_{1}, v_{2}, v_{3},..., v_{n} \in[/mm]
> V linear unabhängig. Für welche [mm]\lambda \in[/mm] K sind dann
> die Vektoren
> [mm]v_{1}+ v_{2}, v_{2}+v_{3},v_{3}+v_{4},...,v_{n-1}+ v_{n},v_{n}+ \lambda v_{1}[/mm]
>
> linear unabhängig?
> Hallo, ich wünsche ein frohes neues Jahr.
> Ich hätte da mal eine Frage, dass die oben genannten
> Vektoren wieder linear unabhängig sind leuchtet mir ja
> soweit,
Hallo,
vielleicht erklärst Du erstmal, warum Dir das einleuchtet.
Wie hast Du festgestellt, ob sie linear unabhängig sind?
Gruß v. Angela
aber wie komme ich auf das Lambda?
> Vielen Dank für jede Antwort.
> Mit freundlichen Grüßen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:12 Mi 06.01.2010 | | Autor: | Ultio |
> Hallo,
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> vielleicht erklärst Du erstmal, warum Dir das
> einleuchtet.
>
> Wie hast Du festgestellt, ob sie linear unabhängig sind?
>
> Gruß v. Angela
>
das habe ich leider gar nicht, außer man könnte sozusagen die Summen der Vektoren so aufschreiben
(v1,v2,0...0), (0,v2,v3,0,...,0) u.s.w. und da sieht man, dass sie linear unabhängig sein müssen, denn egal wie man es dreht, keiner lässt sich durch die anderen darstellen, richtig?
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> > Hallo,
> >
> > vielleicht erklärst Du erstmal, warum Dir das
> > einleuchtet.
> >
> > Wie hast Du festgestellt, ob sie linear unabhängig sind?
> >
> > Gruß v. Angela
> >
> das habe ich leider gar nicht, außer man könnte sozusagen
> die Summen der Vektoren so aufschreiben
> (v1,v2,0...0), (0,v2,v3,0,...,0) u.s.w. und da sieht man,
> dass sie linear unabhängig sein müssen, denn egal wie man
> es dreht, keiner lässt sich durch die anderen darstellen,
> richtig?
>
>
Hallo,
ich habe den Verdacht, daß Du auf dem falschen Dampfer bist.
Was Du wohl mit diesen n-Tupeln [mm] (v_1,v_2,0,...,0) [/mm] usw. meinst?
Und wie siehst Du, daß sich einer durch die anderen darstellen läßt?
Nochmal von vorn, der Deutlichkeit halber mit Pfeilen:
Du hast einen Vektorraum V, und in diesem Vektorraum haben wir n linear unabhängige Vektoren [mm] \vec{v_1}, \vec{v_2},...,\vec{v_n}.
[/mm]
Mithilfe dieser Vektoren werden nun n neue Vektoren [mm] \vec{w_i} [/mm] definiert:
[mm] \vec{w_1}:=\vec{v_1}+\vec{v_2}
[/mm]
[mm] vec{w_2}:=\vec{v_2}+\vec{v_3}
[/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] \vec{w_{n-1}}:=\vec{v_{n-1}}+\vec{v_n}
[/mm]
[mm] \vec{w_n}:=v_n+\lambda v_1.
[/mm]
Die Frage ist nun, ob diese Vektoren linear unabhängig sind oder nicht.
Um diese Frage zu beantworten, mußt Du klären, ob
[mm] \mu_1\vec{w_1}+...+\mu_n\vec{w_n}=\vec{0} [/mm] nur die Lösung [mm] \mu_1=...=\mu_n=0 [/mm] hat. In dem Fall sind die [mm] \vev{w_i} [/mm] unabhängig, gibt es noch eine andere Lösung, dann sind sie abhängig.
Ich würde Dir vorschlagen, die Sache erstmal für n=3 und n=4 durchzurechnen, meist sieht man dann schon etwas klarer.
[mm] \*\*\*
[/mm]
Mir geht villeicht gerade auf, was Du in Deinem Ansatz tun wolltest:
hattet Ihr Koordinatenvektoren bzgl einer Vorgegebenen Basis?
Es ist sicher [mm] B:=(\vec{v_1},...,\vec{v_n}) [/mm] eine Basis des von diesen n Vektoren aufgespannten Unterraumes U von V,
und ebenso sicher sind die Vektoren [mm] \vec{w_i}\in [/mm] U.
Wenn Du die [mm] \vec{w_i} [/mm] als Koordinatenvektoren bzgl B schreiben willst, dann sieht das so aus:
[mm] \vec{w_1}=\vektor{1\\1\\0\\\vdots\\0}_{(B)}, [/mm]
[mm] \vec{w_2}=\vektor{0\\1\\1\\0\\\vdots\\0}_{(B)}, [/mm]
[mm] \vdots
[/mm]
[mm] \vec{w_{n-1}}=\vektor{0\\\vdots\\0\\1\\1}_{(B)}, [/mm]
[mm] \vec{w_n}=\vektor{\lambda\\0\\\vdots\\0\\1}_{(B)}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:58 Mi 06.01.2010 | | Autor: | Ultio |
Lineare Unabhängigkeit verstehe ich auch so.
Genauso habe ich das mit den Koordinatenvektoren gemeint.
für n=3
{ [mm] \vektor{1 \\ 1\\0} \vektor{0 \\ 1\\1} \vektor{\lambda\\ 0\\1} [/mm] } den ersten vom zweiten abziehen
--> { [mm] \vektor{1 \\ 1\\0} \vektor{-1 \\ 0\\1} \vektor{\lambda\\ 0\\1} [/mm] }den neu entstandenen zweiten vom dritten abziehen
-->{ [mm] \vektor{1 \\ 1\\0} \vektor{-1 \\ 0\\1} \vektor{\lambda+1\\ 0\\0} [/mm] }
daraus folgt doch, dass [mm] \lambda [/mm] nicht gleich (-1) sein darf sonst alles.
für n=4
{ [mm] \vektor{1 \\ 1\\0\\0} \vektor{0 \\ 1\\1\\0} \vektor{0 \\ 0\\1\\1} \vektor{\lambda\\ 0\\0\\1} [/mm] } den ersten vom zweiten abziehen
-->{ [mm] \vektor{1 \\ 1\\0\\0} \vektor{-1 \\ 0\\1\\0} \vektor{0\\ 0\\1\\1} \vektor{\lambda\\ 0\\0\\1} [/mm] } den neu entstandenen zweiten vom dritten abziehen
-->{ [mm] \vektor{1 \\ 1\\0\\0} \vektor{-1 \\ 0\\1\\0} \vektor{1 \\ 0\\0\\1} \vektor{\lambda\\ 0\\0\\1} [/mm] } den neuen dritten vom vierten abziehen
-->{ [mm] \vektor{1 \\ 1\\0\\0} \vektor{-1 \\ 0\\1\\0} \vektor{1 \\ 0\\0\\1} \vektor{\lambda-1\\ 0\\0\\0} [/mm] }
daraus folgt doch, dass [mm] \lambda [/mm] nicht 1 sein darf?!
--> für ungerade n: [mm] \lambda \not= [/mm] -1
--> für gerade n: [mm] \lambda \not= [/mm] 1
soweit in ordnung?
Also $ [mm] \lambda [/mm] $ = $ [mm] (-1)^{n}??? [/mm] $
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Lineare Unabhängigkeit verstehe ich auch so.
> Genauso habe ich das mit den Koordinatenvektoren gemeint.
>
>
> für n=3
> { [mm]\vektor{1 \\ 1\\0} \vektor{0 \\ 1\\1} \vektor{\lambda\\ 0\\1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } den ersten vom zweiten abziehen
> --> { [mm]\vektor{1 \\ 1\\0} \vektor{-1 \\ 0\\1} \vektor{\lambda\\ 0\\1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }den neu entstandenen zweiten vom dritten abziehen
> -->{ [mm]\vektor{1 \\ 1\\0} \vektor{-1 \\ 0\\1} \vektor{\lambda+1\\ 0\\0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
> daraus folgt doch, dass [mm]\lambda[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
nicht gleich (-1) sein
> darf sonst alles.
>
> für n=4
> { [mm]\vektor{1 \\ 1\\0\\0} \vektor{0 \\ 1\\1\\0} \vektor{0 \\ 0\\1\\1} \vektor{\lambda\\ 0\\0\\1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } den ersten vom zweiten abziehen
> -->{ [mm]\vektor{1 \\ 1\\0\\0} \vektor{-1 \\ 0\\1\\0} \vektor{0\\ 0\\1\\1} \vektor{\lambda\\ 0\\0\\1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } den neu entstandenen zweiten vom dritten abziehen
> -->{ [mm]\vektor{1 \\ 1\\0\\0} \vektor{-1 \\ 0\\1\\0} \vektor{1 \\ 0\\0\\1} \vektor{\lambda\\ 0\\0\\1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } den neuen dritten vom vierten abziehen
> -->{ [mm]\vektor{1 \\ 1\\0\\0} \vektor{-1 \\ 0\\1\\0} \vektor{1 \\ 0\\0\\1} \vektor{\lambda-1\\ 0\\0\\0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
> daraus folgt doch, dass [mm]\lambda[/mm] nicht 1 sein darf?!
>
> --> für ungerade n: [mm]\lambda \not=[/mm] -1
> --> für gerade n: [mm]\lambda \not=[/mm] 1
>
> soweit in ordnung?
Hallo,
Dein Ergebnis ist richtig, damit steht nun die zu beweisende Behauptung.
Laß sie uns der Übersiichtlichkeit halber mal ruhig in vier Teile zerlegen
1. Für n gerade und [mm] \lambda \not=1 [/mm] ist [mm] (w_1,...,w_n) [/mm] linear unabhängig
2. Für n gerade und [mm] \lambda [/mm] =1 ist [mm] (w_1,...,w_n) [/mm] linear abhängig
3. Für n ungerade und [mm] \lambda \not=-1 [/mm] ist [mm] (w_1,...,w_n) [/mm] linear unabhängig
4. Für n ungerade und [mm] \lambda [/mm] =-1 ist [mm] (w_1,...,w_n) [/mm] linear abhängig
Diese Behauptungen sind nun zu beweisen.
Versuche mal, die ohne die Koordinatenvektoren zu tun - Du wirst Dich über kurz oder lang sowieso von ihnen trennen müssen, wenn Du lineare Algebra verstehen möchtest.
Ich zeige jetzt, damit Du mal einen Eindruch davon bekommst, wie man das macht, die Behauptungen 3. und 4. für den konkreten Fall n=3.
Also: Es seien [mm] (v_1, v_2, v_3) [/mm] linear unabhängig.
3. Behauptung: für [mm] \lambda\not=-1 [/mm] ist [mm] (v_1+v_2, v_2+v_3, v_3+\lambda v_1) [/mm] linear unabhängig.
Beweis: Sei [mm] \lamba\not=-1 [/mm] und
sei [mm] a_1(v_1+v_2)+a_2(v_2+v_3)+a_3(v_3+\lambda v_1)=0
[/mm]
==> (sortieren)
[mm] (a_1+a_3\lambda)v_1+(a_1+a_2)v_2+(a_2+a_3)v_3=0
[/mm]
==> (warum?)
[mm] a_1+a_3\lambda=0 [/mm] und [mm] a_1+a_2=0 [/mm] und [mm] a_2+a_3=0
[/mm]
==> (wie?) [mm] a_1=a_2=a_3=0.
[/mm]
Also ist [mm] (v_1+v_2, v_2+v_3, v_3+\lambda v_1) [/mm] linear unabhängig.
4.Behauptung: es ist [mm] (v_1+v_2, v_2+v_3, v_3-v_1) [/mm] linear abhängig.
Beweis: [mm] 1*(v_1+v_2)-1*(v_2+v_3)+1*(v_3-v_1)=0
[/mm]
Ich denke, Dir gelingt das jetzt auch für n=4, danch kannst Du Dich an die Beweise allgemein für n machen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:50 Mi 06.01.2010 | | Autor: | Ultio |
Danke dir, werde morgen früh mal reinschreiben was ich da so hab, muss zur Uni.
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 13:51 Do 07.01.2010 | | Autor: | Ultio |
So dann werde ich mal meine hoffentlich richtige Lösung mal aufschreiben:
Wie folgt gegliedert:
1 Konkrete Beispiele
1.1 Beh.: für den konkreten Fall n=3 und [mm] \lambda \not= [/mm] -1 ist [mm] (w_1,...,w_n) [/mm] linear unabhängig.
1.2 Bew.
1.3 Beh.: für den konkreten Fall n=3 und [mm] \lambda [/mm] =-1 ist [mm] (w_1,...,w_n) [/mm] linear abhängig.
1.4 Bew.
1.5 Beh.: für den konkreten Fall n=4 und [mm] \lambda \not= [/mm] 1 ist [mm] (w_1,...,w_n) [/mm] linear unabhängig.
1.6 Bew.
1.7 Beh.: für den konkreten Fall n=4 und [mm] \lambda [/mm] =1 ist [mm] (w_1,...,w_n) [/mm] linear abhängig.
1.8 Bew.
2 Allgemein
2.1 Für n ungerade und [mm] \lambda \not= [/mm] -1 ist [mm] (w_1,...,w_n) [/mm]
linear unabhängig.
2.2 Bew.
2.3 Beh.: Für n ungerade und [mm] \lambda [/mm] = -1 ist [mm] (w_1,...,w_n) [/mm]
linear abhängig.
2.4 Bew.
2.5 Beh.: Für n gerade und [mm] \lambda \not= [/mm] 1 ist [mm] (w_1,...,w_n) [/mm]
linear unabhängig.
2.6 Bew.
2.7 Beh.: Für n gerade und [mm] \lambda [/mm] =1 ist [mm] (w_1,...,w_n) [/mm] linear
abhängig.
2.8 Bew.
1.1Beh.:
Für den konkreten Fall n=3 und [mm] \lambda \not= [/mm] -1 ist [mm] (w_1,...,w_n) [/mm] linear unabhängig.
1.2 Bew.:
[mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] sind linear unabhängig
sei [mm] \lambda \not= [/mm] -1
0= [mm] a_1 (v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] + [mm] a_2 (v_2+ v_3) [/mm] + [mm] a_3 (v_3 [/mm] + [mm] \lambda v_1)
[/mm]
--> ausmultiplizieren und ausklammern
0 = [mm] v_1 (a_1 [/mm] + [mm] \lambda a_3) +v_2 (a_1 [/mm] + [mm] a_2) +v_3 (a_2 [/mm] + [mm] a_3) [/mm]
aus der linearen unabhngigkeit folgt dann
[mm] (a_2 [/mm] + [mm] a_3) [/mm] = 0 --> [mm] a_2 [/mm] = [mm] -a_3
[/mm]
[mm] (a_1 [/mm] + [mm] a_2) [/mm] = 0 --> [mm] a_1 [/mm] = [mm] -a_2 [/mm] = [mm] a_3
[/mm]
einsetzen in
[mm] (a_1 [/mm] + [mm] \lambda a_3) [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] 0 = [mm] a_3 [/mm] (1+ [mm] \lambda)
[/mm]
da nun [mm] \lambda \not= [/mm] -1 folgt daraus [mm] a_3 [/mm] =0
daraus resultiert wiederum [mm] a_1= a_2= a_3= [/mm] 0
woraus die lineare Unabhängigkeit folgt.
1.3 Beh.:
Für den konkreten Fall n=3 und [mm] \lambda [/mm] =-1 ist [mm] (w_1,...,w_n) [/mm] linear abhängig.
1.4 Bew.:
Es reicht zu zeigen, dass die nichttrivale Darstellung des Nullvektors/ der Null existiert.
[mm] 1*(v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] - [mm] 1*(v_2+v_3)+1*(v_3-v_1)= [/mm] 0
(Nebenrechnung: [mm] v_1 +v_2 [/mm] - [mm] v_2 [/mm] - [mm] v_3 [/mm] + [mm] v_3 [/mm] - [mm] v_1 [/mm] = 0 w.A.)
1.5 Beh.:
Für den konkreten Fall n=4 und [mm] \lambda \not= [/mm] 1 ist [mm] (w_1,...,w_n) [/mm] linear unabhängig.
1.6 Bew.:
[mm] v_1, v_2, v_3, v_4 [/mm] sind linear unabhängig
sei [mm] \lambda \not= [/mm] 1
0= [mm] a_1 (v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] + [mm] a_2 (v_2+ v_3) [/mm] + [mm] a_3 (v_3 [/mm] + [mm] v_4) [/mm] + [mm] a_4 (v_4 [/mm] + [mm] \lambda a_1)
[/mm]
--> ausmultiplizieren und ausklammern
0 = [mm] v_1 (a_1 [/mm] + [mm] \lambda a_4) +v_2 (a_1 [/mm] + [mm] a_2) +v_3 (a_2 [/mm] + [mm] a_3) +v_4(a_3 [/mm] + [mm] a_4)
[/mm]
aus der linearen unabhngigkeit folgt dann
[mm] (a_3 [/mm] + [mm] a_4) [/mm] = 0 --> [mm] a_3 [/mm] = [mm] -a_4
[/mm]
[mm] (a_2 [/mm] + [mm] a_3) [/mm] = 0 --> [mm] a_2 [/mm] = [mm] -a_3 [/mm] = [mm] a_4
[/mm]
[mm] (a_1 [/mm] + [mm] a_2) [/mm] = 0 --> [mm] a_1 [/mm] = [mm] -a_2 [/mm] = [mm] a_3 [/mm] = [mm] -a_4
[/mm]
einsetzen in
[mm] (a_1 [/mm] + [mm] \lambda a_4) [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] 0 = [mm] a_4 (\lambda [/mm] -1)
da nun [mm] \lambda \not= [/mm] 1 folgt daraus [mm] a_4 [/mm] =0
daraus resultiert wiederum [mm] a_1= a_2= a_3= a_4= [/mm] 0
woraus die lineare Unabhängigkeit folgt.
1.7 Beh.:
Für den konkreten Fall n=4 und [mm] \lambda [/mm] =1 ist [mm] (w_1,...,w_n) [/mm] linear abhängig.
1.8 Bew.:
Es reicht zu zeigen, dass die nichttrivale Darstellung des Nullvektors/ der Null existiert.
[mm] 1*(v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] - [mm] 1*(v_2+v_3)+1*(v_3+v_4) [/mm] -1 [mm] *(v_4 [/mm] + [mm] v_1)= [/mm] 0
(Nebenrechnung: [mm] v_1 +v_2 [/mm] - [mm] v_2 [/mm] - [mm] v_3 [/mm] + [mm] v_3 +v_4 [/mm] - [mm] v_4 [/mm] - [mm] v_1 [/mm] = 0 w.A.)
2.1 Beh.:
Für n ungerade und [mm] \lambda \not= [/mm] -1 ist [mm] (w_1,...,w_n) [/mm]
linear unabhängig.
2.2 Bew.
[mm] v_i [/mm] mit i= 1, 2, ...,n sind linear unabhängig
sei [mm] \lambda \not= [/mm] -1
0 = [mm] a_1(v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] + [mm] a_2(v_2 [/mm] + [mm] v_3)+...+a_{n-1} (v_{n-1} [/mm] + [mm] v_n) [/mm] + [mm] a_n (v_n [/mm] + [mm] \lambda v_1)
[/mm]
--> ausmultiplizieren und ausklammern
0 = [mm] v_1(a_1 [/mm] + [mm] \lambda a_n)+ v_2(a_1 [/mm] + [mm] a_2)+ v_3(a_2 [/mm] + [mm] a_3)+...+ v_{n-1}(a_{n-2} [/mm] + [mm] a_{n-1})+ v_{n}(a_{n-1} [/mm] + [mm] a_{n})
[/mm]
aus der linearen unabhngigkeit folgt dann
[mm] (a_{n-1} [/mm] + [mm] a_{n}) [/mm] = 0 --> [mm] a_{n-1} [/mm] = - [mm] a_{n}
[/mm]
[mm] (a_{n-2} [/mm] + [mm] a_{n-1}) [/mm] = 0 --> [mm] a_{n-2} [/mm] = - [mm] a_{n-1} [/mm] = [mm] a_{n}
[/mm]
...
[mm] (a_2 [/mm] + [mm] a_3) [/mm] = 0 --> [mm] a_2 [/mm] = [mm] -a_3 [/mm] = - [mm] a_{n}
[/mm]
[mm] (a_1 [/mm] + [mm] a_2) [/mm] = 0 --> [mm] a_1 [/mm] = [mm] -a_2 [/mm] = [mm] a_3 [/mm] = [mm] a_{n}
[/mm]
einsetzen in
[mm] (a_1 [/mm] + [mm] \lambda a_n) [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] 0 = [mm] a_n [/mm] (1+ [mm] \lambda)
[/mm]
da nun [mm] \lambda \not= [/mm] -1 folgt daraus [mm] a_n [/mm] =0
daraus resultiert wiederum [mm] a_1= a_2= a_3 [/mm] =...= [mm] a_{n-1}=a_n= [/mm] 0
woraus die lineare Unabhängigkeit folgt.
2.3 Beh.:
Für n ungerade und [mm] \lambda [/mm] = -1 ist [mm] (w_1,...,w_n) [/mm]
linear abhängig.
2.4 Bew.
Es reicht zu zeigen, dass die nichttrivale Darstellung des Nullvektors/ der Null existiert.
[mm] 1*(v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] - [mm] 1*(v_2+v_3)+1*(v_3+v_4) [/mm] +- ... + [mm] 1*(v_n [/mm] - [mm] v_1)= [/mm] 0
(Nebenrechnung: [mm] v_1 +v_2 [/mm] - [mm] v_2 [/mm] - [mm] v_3 [/mm] + [mm] v_3 [/mm] + [mm] v_4 [/mm] +- ...+ [mm] v_n [/mm] - [mm] v_1 [/mm] = 0 w.A.)
2.5 Beh.: Für n gerade und [mm] \lambda \not= [/mm] 1 ist [mm] (w_1,...,w_n) [/mm]
linear unabhängig.
2.6 Bew.
[mm] v_i [/mm] mit i= 1, 2, ...,n sind linear unabhängig
sei [mm] \lambda \not= [/mm] 1
0 = [mm] a_1(v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] + [mm] a_2(v_2 [/mm] + [mm] v_3)+...+a_{n-1} (v_{n-1} [/mm] + [mm] v_n) [/mm] + [mm] a_n (v_n [/mm] + [mm] \lambda v_1)
[/mm]
--> ausmultiplizieren und ausklammern
0 = [mm] v_1(a_1 [/mm] + [mm] \lambda a_n)+ v_2(a_1 [/mm] + [mm] a_2)+ v_3(a_2 [/mm] + [mm] a_3)+...+ v_{n-1}(a_{n-2} [/mm] + [mm] a_{n-1})+ v_{n}(a_{n-1} [/mm] + [mm] a_{n})
[/mm]
aus der linearen unabhngigkeit folgt dann
[mm] (a_{n-1} [/mm] + [mm] a_{n}) [/mm] = 0 --> [mm] a_{n-1} [/mm] = - [mm] a_{n}
[/mm]
[mm] (a_{n-2} [/mm] + [mm] a_{n-1}) [/mm] = 0 --> [mm] a_{n-2} [/mm] = - [mm] a_{n-1} [/mm] = [mm] a_{n}
[/mm]
...
[mm] (a_2 [/mm] + [mm] a_3) [/mm] = 0 --> [mm] a_2 [/mm] = [mm] -a_3 [/mm] = [mm] +a_{n}
[/mm]
[mm] (a_1 [/mm] + [mm] a_2) [/mm] = 0 --> [mm] a_1 [/mm] = [mm] -a_2 [/mm] = [mm] a_3 [/mm] = [mm] -a_{n}
[/mm]
einsetzen in
[mm] (a_1 [/mm] + [mm] \lambda a_n) [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] 0 = [mm] a_n (\lambda [/mm] - 1)
da nun [mm] \lambda \not= [/mm] -1 folgt daraus [mm] a_n [/mm] =0
daraus resultiert wiederum [mm] a_1= a_2= a_3 [/mm] =...= [mm] a_{n-1}=a_n= [/mm] 0
woraus die lineare Unabhängigkeit folgt.
2.7 Beh.:
Für n gerade und [mm] \lambda [/mm] =1 ist [mm] (w_1,...,w_n) [/mm] linear
abhängig.
2.8 Bew.
Es reicht zu zeigen, dass die nichttrivale Darstellung des Nullvektors/ der Null existiert.
[mm] 1*(v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] - [mm] 1*(v_2+v_3)+1*(v_3+v_4) [/mm] +- ... - [mm] 1*(v_n [/mm] + [mm] v_1)= [/mm] 0
(Nebenrechnung: [mm] v_1 +v_2 [/mm] - [mm] v_2 [/mm] - [mm] v_3 [/mm] + [mm] v_3 [/mm] + [mm] v_4 [/mm] +- ...- [mm] v_n [/mm] - [mm] v_1 [/mm] = 0 w.A.)
Hoffe es ist ok so...
danke nochmal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Mo 11.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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