Lineare Unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Fr 28.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage zur linearen Unabhängigkeit.
Also was ich bisher verstanden habe:
Ein Vektor $x$ ist linear abhängig von Vektoren [mm] $x_1,...,x_n$, [/mm] wenn $x$ eine Linearkombination von [mm] $x_1,...,x_n$ [/mm] ist.
Ein Vektor $x$ ist linear unabhängig von Vektoren [mm] $x_1,...,x_n$, [/mm] wenn $x$ keine Linearkombination von [mm] $x_1,...,x_n$ [/mm] ist.
Vektoren [mm] $x_1,...,x_n$ [/mm] heißen linear unabhängig, falls jeder der Vektoren linear unabhängig von den anderen ist.
Soweit ist das ok, aber jetzt habe ich hier einen Satz:
Vektoren [mm] $x_1,...,x_n$ [/mm] sind linear unabhängig genau dann, wenn für [mm] $a_1,...,a_n \in [/mm] K$ aus [mm] $a_1x_1+...+a_nx_n=0$ [/mm] bereits [mm] $a_1=a_2=...=a_n=0$ [/mm] folgt.
Ich kann dieses Satz irgendwie nicht in Einklang mit den Definitionen von oben bringen.
1) Warum muss das Ergebnis der Linearkombination aller Vektoren $0$ sein?
2) Warum müssen alle Koeffizienten [mm] a_i=0 [/mm] sein, damit die Vektoren linear unabhängig sind?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:55 Fr 28.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Nadine!
> Ich habe eine Frage zur linearen Unabhängigkeit.
>
> Also was ich bisher verstanden habe:
>
> Ein Vektor [mm]x[/mm] ist linear abhängig von Vektoren [mm]x_1,...,x_n[/mm],
> wenn [mm]x[/mm] eine Linearkombination von [mm]x_1,...,x_n[/mm] ist.
>
> Ein Vektor [mm]x[/mm] ist linear unabhängig von Vektoren
> [mm]x_1,...,x_n[/mm], wenn [mm]x[/mm] keine Linearkombination von [mm]x_1,...,x_n[/mm]
> ist.
>
> Vektoren [mm]x_1,...,x_n[/mm] heißen linear unabhängig, falls
> jeder der Vektoren linear unabhängig von den anderen ist.
>
> Soweit ist das ok, aber jetzt habe ich hier einen Satz:
>
> Vektoren [mm]x_1,...,x_n[/mm] sind linear unabhängig genau dann,
> wenn für [mm]a_1,...,a_n \in K[/mm] aus [mm]a_1x_1+...+a_nx_n=0[/mm] bereits
> [mm]a_1=a_2=...=a_n=0[/mm] folgt.
>
> Ich kann dieses Satz irgendwie nicht in Einklang mit den
> Definitionen von oben bringen.
>
> 1) Warum muss das Ergebnis der Linearkombination aller
> Vektoren [mm]0[/mm] sein?
>
> 2) Warum müssen alle Koeffizienten [mm]a_i=0[/mm] sein, damit die
> Vektoren linear unabhängig sind?
Beachte folgende Implikationskette fuer $i [mm] \in \{ 1, \dots, n \}$:
[/mm]
[mm] $x_i$ [/mm] ist linear unabhaengig von [mm] $x_1, \dots, x_{i-1}, x_{i+1}, \dots, x_n$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] fuer alle [mm] $a_1, \dots, a_{i-1}, a_{i+1}, \dots, a_n \in [/mm] K$ gilt [mm] $x_i \neq a_1 x_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_{i-1} x_{i-1} [/mm] + [mm] a_{i+1} x_{i+1} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_n x_n$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] fuer alle [mm] $a_1, \dots, a_{i-1}, a_i a_{i+1}, \dots, a_n \in [/mm] K$ mit [mm] $a_i \neq [/mm] 0$ gilt $- [mm] a_i x_i \neq a_1 x_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_{i-1} x_{i-1} [/mm] + [mm] a_{i+1} x_{i+1} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_n x_n$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] fuer alle [mm] $a_1, \dots, a_{i-1}, a_i a_{i+1}, \dots, a_n \in [/mm] K$ mit [mm] $a_i \neq [/mm] 0$ gilt $0 [mm] \neq a_1 x_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_{i-1} x_{i-1} [/mm] + [mm] a_i x_i [/mm] + [mm] a_{i+1} x_{i+1} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_n x_n$
[/mm]
[mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] fuer alle [mm] $a_1, \dots, a_n \in [/mm] K$ mit [mm] $a_i \neq [/mm] 0$ gilt $0 [mm] \neq a_1 x_1 \dots [/mm] + [mm] a_n x_n$
[/mm]
Also ist [mm] $x_i$ [/mm] genau dann unabhaengig von den anderen Vektoren, wenn es keine Linearkombination [mm] $\sum_{j=1}^n a_j x_j$ [/mm] der [mm] $x_j$ [/mm] gibt mit [mm] $a_i \neq [/mm] 0$, die 0 ergibt.
Es gibt also genau dann keine von $(0, [mm] \dots, [/mm] 0)$ verschiedenen Vektor [mm] $(a_1, \dots, a_n) \in K^n$ [/mm] mit [mm] $\sum_{i=1}^n a_i x_i [/mm] = 0$, wenn alle [mm] $x_i$ [/mm] unabhaengig von den restlichen [mm] $x_j$ [/mm] sind, was wiederum aequivalent dazu ist, dass [mm] $x_1, \dots, x_n$ [/mm] linear unabhaengig sind.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Fr 28.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Felix.
Danke für deine Antwort.
> Beachte folgende Implikationskette fuer [mm]i \in \{ 1, \dots, n \}[/mm]:
>
> [mm]x_i[/mm] ist linear unabhaengig von [mm]x_1, \dots, x_{i-1}, x_{i+1}, \dots, x_n[/mm]
>
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] fuer alle [mm]a_1, \dots, a_{i-1}, a_{i+1}, \dots, a_n \in K[/mm]
> gilt [mm]x_i \neq a_1 x_1 + \dots + a_{i-1} x_{i-1} + a_{i+1} x_{i+1} + \dots + a_n x_n[/mm]
Das ist mir klar, $x$ ist nicht als Linearkombination der anderen darstellbar.
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] fuer alle [mm]a_1, \dots, a_{i-1}, a_i a_{i+1}, \dots, a_n \in K[/mm]
> mit [mm]a_i \neq 0[/mm] gilt [mm]- a_i x_i \neq a_1 x_1 + \dots + a_{i-1} x_{i-1} + a_{i+1} x_{i+1} + \dots + a_n x_n[/mm]
Diese Folgerung verstehe ich nicht.
Woher weißt du, dass wenn ich [mm] $x_i$ [/mm] mit einem Skalar multipliziere, dass dann das Ergebnis nicht als Linearkombination der anderen darstellbar ist?
Vielleicht gibt es ja nun doch eine Wahl für [mm]a_1, \dots, a_{i-1}, a_{i+1}, \dots, a_n \in K[/mm] die eine Linearkombination für die neuen Einträge von $x$ ermöglichen?
Wieso kannst du das ausschließen?
LG, Nadine
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Hallo
> > [mm]\Leftrightarrow[/mm] fuer alle [mm]a_1, \dots, a_{i-1}, a_i a_{i+1}, \dots, a_n \in K[/mm]
> > mit [mm]a_i \neq 0[/mm] gilt [mm]- a_i x_i \neq a_1 x_1 + \dots + a_{i-1} x_{i-1} + a_{i+1} x_{i+1} + \dots + a_n x_n[/mm]
>
> Diese Folgerung verstehe ich nicht.
>
> Woher weißt du, dass wenn ich [mm]x_i[/mm] mit einem Skalar
> multipliziere, dass dann das Ergebnis nicht als
> Linearkombination der anderen darstellbar ist?
>
> Vielleicht gibt es ja nun doch eine Wahl für [mm]a_1, \dots, a_{i-1}, a_{i+1}, \dots, a_n \in K[/mm]
> die eine Linearkombination für die neuen Einträge von [mm]x[/mm]
> ermöglichen?
>
> Wieso kannst du das ausschließen?
>
Nun, wenn du [mm] a_{i}*x_{i} [/mm] als Linearkombination darstellen könntest, bei einer guten Wahl deiner [mm] a_{1},...,a_{i-1},a_{i+1},...,a_{n}, [/mm] dann wäre doch dein [mm] x_{i} [/mm] bei einer Division der Linearkombination von [mm] a_{i}*x_{i} [/mm] mit [mm] a_{i} [/mm] ja auch als Linearkombination darstellbar..
Wenn also [mm] x_{i} [/mm] linear unabhängig ist in einer Familie von Vektoren, dann ist jedes Vielfache dieses Vektors linear unabhängig von den anderen in der gleichen Familie!
>
> LG, Nadine
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Fr 28.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Amaro,
> Wenn also [mm]x_{i}[/mm] linear unabhängig ist in einer Familie von
> Vektoren, dann ist jedes Vielfache dieses Vektors linear
> unabhängig von den anderen in der gleichen Familie!
Fast: 0 ist ja auch ein Vielfaches von [mm] $x_i$ [/mm]  Aber bei allen anderen Vielfachen stimmt es.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Fr 28.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Amaro!
Danke für deine Antwort, ich denke, ich hab verstanden, was du meinst.
> Nun, wenn du [mm]a_{i}*x_{i}[/mm] als Linearkombination darstellen
> könntest, bei einer guten Wahl deiner
> [mm]a_{1},...,a_{i-1},a_{i+1},...,a_{n},[/mm] dann wäre doch dein
> [mm]x_{i}[/mm] bei einer Division der Linearkombination von
> [mm]a_{i}*x_{i}[/mm] mit [mm]a_{i}[/mm] ja auch als Linearkombination
> darstellbar..
Also als Linearkombination mit Quotienten, deren Divisor [mm] a_i [/mm] ist?
> Wenn also [mm]x_{i}[/mm] linear unabhängig ist in einer Familie von
> Vektoren, dann ist jedes Vielfache dieses Vektors linear
> unabhängig von den anderen in der gleichen Familie!
Was ist denn eine Familie?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Fr 28.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Nadine!
> > Nun, wenn du [mm]a_{i}*x_{i}[/mm] als Linearkombination darstellen
> > könntest, bei einer guten Wahl deiner
> > [mm]a_{1},...,a_{i-1},a_{i+1},...,a_{n},[/mm] dann wäre doch dein
> > [mm]x_{i}[/mm] bei einer Division der Linearkombination von
> > [mm]a_{i}*x_{i}[/mm] mit [mm]a_{i}[/mm] ja auch als Linearkombination
> > darstellbar..
>
> Also als Linearkombination mit Quotienten, deren Divisor
> [mm]a_i[/mm] ist?
Sozusagen. Allerdings sind [mm] $\frac{a_1}{a_i}, \dots, \frac{a_{i-1}}{a_i}, [/mm] 1, [mm] \frac{a_{i+1}}{a_i}, \dots, \frac{a_n}{a_i}$ [/mm] wieder Elemente aus $K$, womit man wieder eine gewoehnliche Linearkombination hat. Nur halt mit dem Koeffizienten 1 an der $i$-ten Stelle.
> > Wenn also [mm]x_{i}[/mm] linear unabhängig ist in einer Familie von
> > Vektoren, dann ist jedes Vielfache dieses Vektors linear
> > unabhängig von den anderen in der gleichen Familie!
>
> Was ist denn eine Familie?
Sozusagen eine indizierte Menge: man hat eine Indexmenge, etwa $I = [mm] \{ 1, 2, \dots, n \}$, [/mm] und zu jedem $i [mm] \in [/mm] I$ ein Element [mm] $a_i$. [/mm] Dann ist [mm] $(a_i)_{i\in I}$ [/mm] eine Familie.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 So 30.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Felix.
> Sozusagen. Allerdings sind [mm]\frac{a_1}{a_i}, \dots, \frac{a_{i-1}}{a_i}, 1, \frac{a_{i+1}}{a_i}, \dots, \frac{a_n}{a_i}[/mm]
> wieder Elemente aus [mm]K[/mm], womit man wieder eine gewoehnliche
> Linearkombination hat. Nur halt mit dem Koeffizienten 1 an
> der [mm]i[/mm]-ten Stelle.
Ähm, hier komm ich nicht mit...
Also wir hatten doch: fuer alle [mm] $a_1, \dots, a_{i-1}, a_i a_{i+1}, \dots, a_n \in [/mm] K$ mit [mm] $a_i \neq [/mm] 0$ gilt $- [mm] a_i x_i \neq a_1 x_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_{i-1} x_{i-1} [/mm] + [mm] a_{i+1} x_{i+1} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_n x_n$ [/mm]
Und wir hatten gesagt, dass das ungleich sein muss, denn es kann nicht gleich sein, weil wenn das wäre, könnten wir durch [mm] a_i [/mm] teilen und hätten eine Darstellung für [mm] x_i [/mm] als Linearkombination (von den Vektoren [mm] x_1,...,x_{i-1},x_{i+1},...,x_n [/mm] ), was wir aber von Anfang an ausgeschlossen haben, richtig?
So, wenn ich das jetzt durch [mm] a_i [/mm] teile, erhalte ich $ [mm] x_i \neq -\bruch{a_1}{ a_i} x_1 [/mm] - [mm] \dots [/mm] - [mm] \bruch{a_{i-1}}{a_i} x_{i-1} [/mm] - [mm] \bruch{a_{i+1}}{a_i} x_{i+1} [/mm] - [mm] \dots [/mm] + [mm] \bruch{a_n}{a_i} x_n$ [/mm]
Wo kommt denn da bei dir die $1$ her, der Vektor [mm] x_i [/mm] steht doch auf der anderen Seite...
LG, Nadine
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Hallo
> Hallo Felix.
>
>
>
> > Sozusagen. Allerdings sind [mm]\frac{a_1}{a_i}, \dots, \frac{a_{i-1}}{a_i}, 1, \frac{a_{i+1}}{a_i}, \dots, \frac{a_n}{a_i}[/mm]
> > wieder Elemente aus [mm]K[/mm], womit man wieder eine gewoehnliche
> > Linearkombination hat. Nur halt mit dem Koeffizienten 1 an
> > der [mm]i[/mm]-ten Stelle.
>
> Ähm, hier komm ich nicht mit...
>
> Also wir hatten doch: fuer alle [mm]a_1, \dots, a_{i-1}, a_i a_{i+1}, \dots, a_n \in K[/mm]
> mit [mm]a_i \neq 0[/mm] gilt [mm]- a_i x_i \neq a_1 x_1 + \dots + a_{i-1} x_{i-1} + a_{i+1} x_{i+1} + \dots + a_n x_n[/mm]
>
> Und wir hatten gesagt, dass das ungleich sein muss, denn es
> kann nicht gleich sein, weil wenn das wäre, könnten wir
> durch [mm]a_i[/mm] teilen und hätten eine Darstellung für [mm]x_i[/mm] als
> Linearkombination (von den Vektoren
> [mm]x_1,...,x_{i-1},x_{i+1},...,x_n[/mm] ), was wir aber von Anfang
> an ausgeschlossen haben, richtig?
>
> So, wenn ich das jetzt durch [mm]a_i[/mm] teile, erhalte ich [mm]x_i \neq -\bruch{a_1}{ a_i} x_1 - \dots - \bruch{a_{i-1}}{a_i} x_{i-1} - \bruch{a_{i+1}}{a_i} x_{i+1} - \dots [red] + [/red] \bruch{a_n}{a_i} x_n[/mm]
>
> Wo kommt denn da bei dir die [mm]1[/mm] her, der Vektor [mm]x_i[/mm] steht
> doch auf der anderen Seite...
>
>
Das stimmt alles, bis auf dein Tippfehler ;) (Irgendwie gehen bei mir die Farben nicht.. ).. Du musst jetzt nur die Gleichung mit der rechten Seite addieren, dann hast du nichts anderes als
[mm] \bruch{a_1}{ a_i} x_{1} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] \bruch{a_{i-1}}{a_i} x_{i-1} [/mm] + [mm] x_{i} [/mm] + [mm] \bruch{a_{i+1}}{a_i} x_{i+1} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] \bruch{a_n}{a_i} x_n \not= [/mm] 0
Also siehst du, dass der Koeffizient an i-ter Stelle = 1 ist. Mehr war beim obigen Satz nicht gemeint :)
Und die [mm] \bruch{a_{j}}{a_{i}} [/mm] sind wieder Elemente des Körpers.. somit stellt dies wieder eine Linearkombination dar!
>
> LG, Nadine
Grüsse, Amaro
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 So 30.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Amaro.
> Und die [mm]\bruch{a_{j}}{a_{i}}[/mm] sind wieder Elemente des
> Körpers.. somit stellt dies wieder eine Linearkombination
> dar!
Aber das ist dann jetzt keine Linearkombination des Vektors [mm] x_i [/mm] mehr, sonders irgendeines anderen Vektors in $V$, oder?
Aber für das Argument, dass das ganze Ding ungleich sein muss, war ja nur wichtig, dass eben das [mm] x_i [/mm] nicht als Linearkombination der anderen darstellbar ist, oder nicht?
War es dann überhaupt noch nötig, das [mm] x_i [/mm] auf die andere Seite zu bringen?
LG, Nadine
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Hallo
> Hallo Amaro.
>
> > Und die [mm]\bruch{a_{j}}{a_{i}}[/mm] sind wieder Elemente des
> > Körpers.. somit stellt dies wieder eine Linearkombination
> > dar!
>
> Aber das ist dann jetzt keine Linearkombination des Vektors
> [mm]x_i[/mm] mehr, sonders irgendeines anderen Vektors in [mm]V[/mm], oder?
>
Du hast doch eine Familie von Vektoren, also Vektoren [mm] x_{1},...,x_{n} [/mm] und du willst wissen, ob die linear abhängig oder linear unabhängig sind..
[mm] a_{1}x_{1} [/mm] + ... + [mm] a_{i}x_{i} [/mm] + ... + [mm] a_{n}x_{n} [/mm] = 0 und
[mm] \bruch{a_{1}}{a_{i}}x_{1} [/mm] + ... + [mm] x_{i} [/mm] + ... + [mm] \bruch{a_{n}}{a_{i}}x_{n} [/mm] = 0
sind beide Linearkombinationen der gleichen Vektorfamilie... Du kannst alle Koeffizienten womit auch immer du möchtest teilen, multiplizieren.. es geht darum, dass KEINE Linearkombination existiert die den Nullvektor ergibt, ausser wenn alle [mm] a_{i} [/mm] = 0 sind.. erst dann sind alle Vektoren [mm] x_{1},...,x_{n} [/mm] linear unabhängig voneinander.
> Aber für das Argument, dass das ganze Ding ungleich sein
> muss, war ja nur wichtig, dass eben das [mm]x_i[/mm] nicht als
> Linearkombination der anderen darstellbar ist, oder nicht?
>
> War es dann überhaupt noch nötig, das [mm]x_i[/mm] auf die andere
> Seite zu bringen?
>
> LG, Nadine
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:18 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Amaro,
> Du hast doch eine Familie von Vektoren, also Vektoren
> [mm]x_{1},...,x_{n}[/mm] und du willst wissen, ob die linear
> abhängig oder linear unabhängig sind..
>
> [mm]a_{1}x_{1}[/mm] + ... + [mm]a_{i}x_{i}[/mm] + ... + [mm]a_{n}x_{n}[/mm] = 0 und
> [mm]\bruch{a_{1}}{a_{i}}x_{1}[/mm] + ... + [mm]x_{i}[/mm] + ... +
> [mm]\bruch{a_{n}}{a_{i}}x_{n}[/mm] = 0
>
> sind beide Linearkombinationen der gleichen
> Vektorfamilie... Du kannst alle Koeffizienten womit auch
> immer du möchtest teilen, multiplizieren.. es geht darum,
> dass KEINE Linearkombination existiert die den Nullvektor
> ergibt, ausser wenn alle [mm]a_{i}[/mm] = 0 sind.. erst dann sind
> alle Vektoren [mm]x_{1},...,x_{n}[/mm] linear unabhängig
> voneinander.
Ja, das habe ich (denke ich) verstanden.
Was ich ja wissen wollte, war ja, ob man [mm] a_ix_i\not=... [/mm] immer annehmen kann, oder ob es auch gleich sein kann.
Und wenn ich Gleichheit annehme und durch [mm] a_i\not=0 [/mm] teile, dann hätte ich ja wieder eine Linearkombination von $x$, was ein Widerspruch zur Annahme wäre.
Und hier war dann meine Frage, ob es dann als Argumentation schon reicht, nur durch [mm] a_i [/mm] zu teilen und nicht noch das [mm] x_i [/mm] auf die andere Seite zu holen:
> > Aber für das Argument, dass das ganze Ding ungleich sein
> > muss, war ja nur wichtig, dass eben das [mm]x_i[/mm] nicht als
> > Linearkombination der anderen darstellbar ist, oder nicht?
Und eigentlich müsste das doch schon reichen, wegen dem Widerspruch, den ich dann erhalte, oder?
Weißt du, was ich meine?
LG, Nadine
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Hallo
> Hallo Amaro,
>
> Was ich ja wissen wollte, war ja, ob man [mm]a_ix_i\not=...[/mm]
> immer annehmen kann, oder ob es auch gleich sein kann.
> Und wenn ich Gleichheit annehme und durch [mm]a_i\not=0[/mm] teile,
> dann hätte ich ja wieder eine Linearkombination von [mm]x[/mm], was
> ein Widerspruch zur Annahme wäre.
>
> Und hier war dann meine Frage, ob es dann als Argumentation
> schon reicht, nur durch [mm]a_i[/mm] zu teilen und nicht noch das
> [mm]x_i[/mm] auf die andere Seite zu holen:
>
>
Wenn du erst mal verstanden hast, warum die Linearkombination nicht den Nullvektor ergeben kann, dann ja. Denn wenn alles mit [mm] a_{i} [/mm] dividiert wird, bekommst du einfach eine neue Linearkombination, die ebenfalls nicht Null geben darf.
> LG, Nadine
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Amaro!
Es tut mit ganz fürchterlich Leid, aber ich muss nochmal nachfragen (dieses Thema ist einfach nicht meins...)
> Wenn du erst mal verstanden hast, warum die
> Linearkombination nicht den Nullvektor ergeben kann, dann
> ja. Denn wenn alles mit [mm]a_{i}[/mm] dividiert wird, bekommst du
> einfach eine neue Linearkombination, die ebenfalls nicht
> Null geben darf.
Also es ging ja um den Schritt von
[mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] fuer alle [mm] $a_1, \dots, a_{i-1}, a_{i+1}, \dots, a_n \in [/mm] K$ gilt [mm] $x_i \neq a_1 x_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_{i-1} x_{i-1} [/mm] + [mm] a_{i+1} x_{i+1} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_n x_n$
[/mm]
nach
[mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] fuer alle [mm] $a_1, \dots, a_{i-1}, a_i a_{i+1}, \dots, a_n \in [/mm] K$ mit [mm] $a_i \neq [/mm] 0$ gilt $- [mm] a_i x_i \neq a_1 x_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_{i-1} x_{i-1} [/mm] + [mm] a_{i+1} x_{i+1} [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] a_n x_n$ [/mm]
Und das ist ja ein Zwischenschritt in der Erklärung dafür, wie ich überhaupt auf den ganzen Kram komme, dass Linearkombinationen $0$ sein müssen oder auch nicht...
Deshalb verstehe ich nicht, dass ich da dann schon damit argumentieren muss, dass die Linearkombinationen den Nullvektor ergeben.
Also ich argumentiere quasi mit dem, was ich mir grad herleite... *aaarg*
Oder kann ich an der Stelle ganz normal damit damit argumentieren, dass wenn ich eine ganze Gleichung mit einer Konstanten ungleich 0 multipliziere, dass sich dann an der Gleichheit nix ändert?
LG, Nadine
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> Hallo Amaro!
>
> Es tut mit ganz fürchterlich Leid, aber ich muss nochmal
> nachfragen (dieses Thema ist einfach nicht meins...)
>
>
Macht doch nix ^^ Ich habe das auch erst dieses Jahr gelernt :)
>
> > Wenn du erst mal verstanden hast, warum die
> > Linearkombination nicht den Nullvektor ergeben kann, dann
> > ja. Denn wenn alles mit [mm]a_{i}[/mm] dividiert wird, bekommst du
> > einfach eine neue Linearkombination, die ebenfalls nicht
> > Null geben darf.
>
> Also es ging ja um den Schritt von
>
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] fuer alle [mm]a_1, \dots, a_{i-1}, a_{i+1}, \dots, a_n \in K[/mm]
> gilt [mm]x_i \neq a_1 x_1 + \dots + a_{i-1} x_{i-1} + a_{i+1} x_{i+1} + \dots + a_n x_n[/mm]
>
Nennen wir das (1)
> nach
>
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] fuer alle [mm]a_1, \dots, a_{i-1}, a_i a_{i+1}, \dots, a_n \in K[/mm]
> mit [mm]a_i \neq 0[/mm] gilt [mm]- a_i x_i \neq a_1 x_1 + \dots + a_{i-1} x_{i-1} + a_{i+1} x_{i+1} + \dots + a_n x_n[/mm]
>
Nennen wir das (2)
> Und das ist ja ein Zwischenschritt in der Erklärung
> dafür, wie ich überhaupt auf den ganzen Kram komme, dass
> Linearkombinationen [mm]0[/mm] sein müssen oder auch nicht...
>
> Deshalb verstehe ich nicht, dass ich da dann schon damit
> argumentieren muss, dass die Linearkombinationen den
> Nullvektor ergeben.
>
> Also ich argumentiere quasi mit dem, was ich mir grad
> herleite... *aaarg*
Achso, achso.. ich dachte, du wärst weiter vorne.. Das ist ja die Herleitung von Felix, ja?
>
> Oder kann ich an der Stelle ganz normal damit damit
> argumentieren, dass wenn ich eine ganze Gleichung mit einer
> Konstanten ungleich 0 multipliziere, dass sich dann an der
> Gleichheit nix ändert?
>
>
Bei (1) steht: [mm] x_{i}, [/mm] also ein beliebiger Vektor der Familie [mm] x_{1},...,x_{n} [/mm] lässt sich nicht als Linearkombination der restlichen Vektoren schreiben.
Bei (2) steht: [mm] -a_{i}x_{i}, [/mm] also ein Vielfaches des Vektors [mm] x_{i} [/mm] lässt sich ebenfalls nicht als Linearkombination der restlichen Vektoren schreiben.
Es steht [mm] -a_{i}, [/mm] damit man das nacher einfach per addition nach rechts nehmen kann und man alles als Summe schreiben kann.. aber dieses [mm] a_{i} [/mm] kann grösser oder kleiner 0 sein.. einfach nicht 0 :)
Jetzt nimmst du einfach [mm] -a_{i}x_{i} [/mm] auf die andere Seite.. links steht dann eine grosse, runde 0...
>
> LG, Nadine
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Amaro!
> Das ist
> ja die Herleitung von Felix, ja?
Ja, genau, daraum gehts.
> Bei (1) steht: [mm]x_{i},[/mm] also ein beliebiger Vektor der
> Familie [mm]x_{1},...,x_{n}[/mm] lässt sich nicht als
> Linearkombination der restlichen Vektoren schreiben.
> Bei (2) steht: [mm]-a_{i}x_{i},[/mm] also ein Vielfaches des
> Vektors [mm]x_{i}[/mm] lässt sich ebenfalls nicht als
> Linearkombination der restlichen Vektoren schreiben.
> Es steht [mm]-a_{i},[/mm] damit man das nacher einfach per addition
> nach rechts nehmen kann und man alles als Summe schreiben
> kann.. aber dieses [mm]a_{i}[/mm] kann grösser oder kleiner 0
> sein.. einfach nicht 0 :)
>
> Jetzt nimmst du einfach [mm]-a_{i}x_{i}[/mm] auf die andere Seite..
> links steht dann eine grosse, runde 0...
Ja, das ist alles klar.
Frage ist, warum die Ungleichung immer noch ungleich sein muss, wenn ich nun mit [mm] -a_i [/mm] multipliziere.
Ist das einfach, wie wenn ich "normale" Ungleichungen (also ohne diesen ganzen Vektorkram) mit einer Kontanten multipliziere, dass das dann die Ungleichheit nicht verändert?
LG, Nadine
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Hey
> Hallo Amaro!
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> > Das ist
> > ja die Herleitung von Felix, ja?
>
> Ja, genau, daraum gehts.
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> > Bei (1) steht: [mm]x_{i},[/mm] also ein beliebiger Vektor der
> > Familie [mm]x_{1},...,x_{n}[/mm] lässt sich nicht als
> > Linearkombination der restlichen Vektoren schreiben.
> > Bei (2) steht: [mm]-a_{i}x_{i},[/mm] also ein Vielfaches des
> > Vektors [mm]x_{i}[/mm] lässt sich ebenfalls nicht als
> > Linearkombination der restlichen Vektoren schreiben.
> > Es steht [mm]-a_{i},[/mm] damit man das nacher einfach per addition
> > nach rechts nehmen kann und man alles als Summe schreiben
> > kann.. aber dieses [mm]a_{i}[/mm] kann grösser oder kleiner 0
> > sein.. einfach nicht 0 :)
> >
> > Jetzt nimmst du einfach [mm]-a_{i}x_{i}[/mm] auf die andere Seite..
> > links steht dann eine grosse, runde 0...
>
> Ja, das ist alles klar.
>
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>
> Frage ist, warum die Ungleichung immer noch ungleich sein
> muss, wenn ich nun mit [mm]-a_i[/mm] multipliziere.
>
> Ist das einfach, wie wenn ich "normale" Ungleichungen (also
> ohne diesen ganzen Vektorkram) mit einer Kontanten
> multipliziere, dass das dann die Ungleichheit nicht
> verändert?
>
>
Naja, wenn du stehen hast x [mm] \not= [/mm] 0, dann ist das gleichbedeutend mit x < 0 || x > 0 (|| steht hier für "oder")
und wenn du jetzt x mit einem Skalar [mm] \not= [/mm] 0 multiplizierst, dann wird x auch nicht 0.. oder? ;)
Es ist wie bei einer Gleichung... Wenn du hast 2x -3y + 1 [mm] \not= [/mm] 0 und die Gleichung mit a [mm] \not=0 [/mm] multiplizierst, dann wied sie nicht 0 :)
>
> LG, Nadine
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Amaro!
Vielen Dank!
Dieser Schritt ist mir jetzt klar 
LG, Nadine
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Fr 28.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Felix.
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] fuer alle [mm]a_1, \dots, a_n \in K[/mm] mit [mm]a_i \neq 0[/mm]
> gilt [mm]0 \neq a_1 x_1 \dots + a_n x_n[/mm]
Gilt das [mm]a_i \neq 0[/mm] hier immer noch nur für den speziellen Koeffizienten [mm] a_i [/mm] (der zwischen [mm] a_{i-1} [/mm] und [mm] a_{i+1} [/mm] liegt) oder bezieht es sich jetzt auf alle [mm] a_1,...,a_n [/mm] ?
Und dann hab ich noch eine Frage:
Ich lese die letze Zeile jetzt wie folgt:
[mm] x_i [/mm] ist genau dann linear unabhängig, wenn für alle [mm] a_1,...,a_n [/mm] eine Linearkombination existiert, die ungleich $0$ ist.
Aber das ist doch genau das falsche, oder?
Die Linearkombination soll doch dachte ich $0$ ergeben ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Und außerdem, wenn doch eine Linearkombination existiert, dann ist [mm] x_i [/mm] ja durch diese darstellbar und somit linear abhängig.
Irgendwie bin ich grad verwirrt...
LG, Nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Fr 28.08.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Nadine
> > [mm]\Leftrightarrow[/mm] fuer alle [mm]a_1, \dots, a_n \in K[/mm] mit [mm]a_i \neq 0[/mm]
> > gilt [mm]0 \neq a_1 x_1 \dots + a_n x_n[/mm]
>
> Gilt das [mm]a_i \neq 0[/mm] hier immer noch nur für den speziellen
> Koeffizienten [mm]a_i[/mm] (der zwischen [mm]a_{i-1}[/mm] und [mm]a_{i+1}[/mm] liegt)
> oder bezieht es sich jetzt auf alle [mm]a_1,...,a_n[/mm] ?
Das bezieht sich nur auf den speziellen Koeffizienten [mm] $a_i$.
[/mm]
> Und dann hab ich noch eine Frage:
>
> Ich lese die letze Zeile jetzt wie folgt:
>
> [mm]x_i[/mm] ist genau dann linear unabhängig, wenn für alle
> [mm]a_1,...,a_n[/mm] eine Linearkombination existiert, die ungleich
> [mm]0[/mm] ist.
>
> Aber das ist doch genau das falsche, oder?
> Die Linearkombination soll doch dachte ich [mm]0[/mm] ergeben
>
Also: wenn es eine Linearkombination gibt, die 0 ergibt, muessen schon alle Koeffizienten 0 sein.
Oder anders formuliert: Wenn nicht alle Koeffizienten 0 sind, dann ist die Linearkombination auch nicht 0.
> Und außerdem, wenn doch eine Linearkombination existiert,
> dann ist [mm]x_i[/mm] ja durch diese darstellbar und somit linear
> abhängig.
Na, wenn da nicht 0 rauskommt ist [mm] $x_i$ [/mm] nicht durch die anderen [mm] $x_j$, [/mm] $j [mm] \neq [/mm] i$ darstellbar, sondern man braucht noch einen weiteren Vektor.
Ausserdem: Linearkombinationen existieren immer. Es kommt nur nicht umbedingt 0 raus.
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 So 30.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Felix.
> > Ich lese die letze Zeile jetzt wie folgt:
> >
> > [mm]x_i[/mm] ist genau dann linear unabhängig, wenn für alle
> > [mm]a_1,...,a_n[/mm] eine Linearkombination existiert, die
> ungleich
> > [mm]0[/mm] ist.
> >
> > Aber das ist doch genau das falsche, oder?
> > Die Linearkombination soll doch dachte ich [mm]0[/mm] ergeben
> >
>
> Also: wenn es eine Linearkombination gibt, die 0 ergibt,
> muessen schon alle Koeffizienten 0 sein.
>
> Oder anders formuliert: Wenn nicht alle Koeffizienten 0
> sind, dann ist die Linearkombination auch nicht 0.
Hmm, also so ganz verstehe ich das noch nicht ![[nixweiss]](/images/smileys/nixweiss.gif "[nixweiss]")
Am besten mal Schritt für Schritt:
Habe ich denn die letzte Zeile deiner Äquivalenzumformungen überhaupt richtig gelesen?
LG, Nadine
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Hey
> Hallo Felix.
>
>
>
> > > Ich lese die letze Zeile jetzt wie folgt:
> > >
> > > [mm]x_i[/mm] ist genau dann linear unabhängig, wenn für alle
> > > [mm]a_1,...,a_n[/mm] eine Linearkombination existiert, die
> > ungleich
> > > [mm]0[/mm] ist.
> > >
> > > Aber das ist doch genau das falsche, oder?
> > > Die Linearkombination soll doch dachte ich [mm]0[/mm] ergeben
> > >
> >
> > Also: wenn es eine Linearkombination gibt, die 0 ergibt,
> > muessen schon alle Koeffizienten 0 sein.
> >
> > Oder anders formuliert: Wenn nicht alle Koeffizienten 0
> > sind, dann ist die Linearkombination auch nicht 0.
>
> Hmm, also so ganz verstehe ich das noch nicht
>
> Am besten mal Schritt für Schritt:
>
> Habe ich denn die letzte Zeile deiner
> Äquivalenzumformungen überhaupt richtig gelesen?
>
>
Es ist ganz einfach.. Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn für:
[mm] a_{1}x_{1} [/mm] + ... + [mm] a_{n}x_{n} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow a_{1} [/mm] = ... = [mm] a_{n} [/mm] = 0 folgt.
In dieser Summe, wenn 2 Vektoren linear abhängig sind, dann lässt sich mit geeigneten [mm] a_{i} [/mm] der Nullvektor darstellen, ohne dass alle Koeffizienten 0 sind.
z.B [mm] v_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1\\2}, v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{2\\4} [/mm] und alle anderen [mm] v_{i} [/mm] linear unabhängig.
Nun, dann lässt sich mit [mm] a_{1} [/mm] = -2, [mm] a_{2} [/mm] = 1 und alle anderen [mm] a_{i} [/mm] = 0 der Nullvektor darstellen als 0 = [mm] -2v_{1} [/mm] + [mm] v_{2} [/mm] + [mm] 0v_{3} [/mm] + ... + [mm] 0v_{n}
[/mm]
Da aber nicht alle [mm] a_{i} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Familie linear abhängig.
>
> LG, Nadine
Hoffe, es ist ein bisschen klarer :)
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 So 30.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Amaro!
> Es ist ganz einfach.. Die Vektoren sind genau dann linear
> unabhängig, wenn für:
>
> [mm]a_{1}x_{1}[/mm] + ... + [mm]a_{n}x_{n}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow a_{1}[/mm] = ... =
> [mm]a_{n}[/mm] = 0 folgt.
Also prinzipiell versteh ich ja die Aussage dieses Satzes, aber meine Frage war ja, warum das Ergebnis der Linearkombination gerade der Nullvektor sein muss.
Und dafür hat Felix mir ja diese Implikationskette gegeben.
Und da hänge ich nun am letzten Schritt.
Da stand ja: [mm] $x_i$ [/mm] ist linear unabhaengig von [mm] $x_1, \dots, x_{i-1}, x_{i+1}, \dots, x_n$ $\Leftrightarrow$ [/mm] fuer alle [mm] $a_1, \dots, a_n \in [/mm] K$ mit [mm] $a_i \neq [/mm] 0$ gilt $0 [mm] \neq a_1 x_1 \dots [/mm] + [mm] a_n x_n$ [/mm]
Und hier möchte ich gerne wissen, wie ich diese Zeile lesen muss.
Ich lese sie so: [mm] $x_i$ [/mm] ist linear unabhaengig von [mm] $x_1, \dots, x_{i-1}, x_{i+1}, \dots, x_n$ [/mm] genau dann, wenn es eine Linearkombination [mm] $a_1 x_1+ \dots [/mm] + [mm] a_n x_n$ [/mm] gibt (aller Vektoren [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_n, [/mm] incl. [mm] x_i [/mm] ), deren Ergebnis nicht der Nullvektor ist, wenn der Koeffizient von [mm] x_i [/mm] ungleich $0$ ist.
Ist das so richtig?
LG, Nadine
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Hallo
> Hallo Amaro!
>
>
>
> > Es ist ganz einfach.. Die Vektoren sind genau dann linear
> > unabhängig, wenn für:
> >
> > [mm]a_{1}x_{1}[/mm] + ... + [mm]a_{n}x_{n}[/mm] = 0 [mm]\Rightarrow a_{1}[/mm] = ... =
> > [mm]a_{n}[/mm] = 0 folgt.
>
> Also prinzipiell versteh ich ja die Aussage dieses Satzes,
> aber meine Frage war ja, warum das Ergebnis der
> Linearkombination gerade der Nullvektor sein muss.
>
> Und dafür hat Felix mir ja diese Implikationskette
> gegeben.
>
> Und da hänge ich nun am letzten Schritt.
>
> Da stand ja: [mm]x_i[/mm] ist linear unabhaengig von [mm]x_1, \dots, x_{i-1}, x_{i+1}, \dots, x_n[/mm]
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] fuer alle [mm]a_1, \dots, a_n \in K[/mm] mit [mm]a_i \neq 0[/mm]
> gilt [mm]0 \neq a_1 x_1 \dots + a_n x_n[/mm]
>
> Und hier möchte ich gerne wissen, wie ich diese Zeile
> lesen muss.
>
Lies dies so: [mm] x_{i} [/mm] lässt sich nicht linear kombinieren aus den restlichen Vektoren [mm] x_{1},...,x_{i-1},x_{i+1},...,x_{n}. [/mm] Das gilt aber für jedes i [mm] \in [/mm] {1,...,n}, also für JEDEN dieser Vektoren [mm] x_{1},...,x_{n}. [/mm] Wenn sich also keines dieser vektoren aus den anderen linear kombinieren lässt, so kann man den Nullvektor ja nie mit [mm] a_{i} \not= [/mm] 0 erreichen, denn sonst stünde da [mm] \summe_{i=1}^{n} a_{i}x_{i} [/mm] = 0 und wir könnten aus der Summe ein [mm] a_{i}x_{i} [/mm] auf die andere Seite nehmen und alles durch [mm] a_{i} [/mm] teilen und was stünde da? Genau.. [mm] x_{i} [/mm] als Linearkombination der anderen [mm] x_{j} [/mm] (j [mm] \in \{1,...,n\} [/mm] \ [mm] \{i\})... [/mm]
> Ich lese sie so: [mm]x_i[/mm] ist linear unabhaengig von [mm]x_1, \dots, x_{i-1}, x_{i+1}, \dots, x_n[/mm]
> genau dann, wenn es eine Linearkombination [mm]a_1 x_1+ \dots + a_n x_n[/mm]
> gibt (aller Vektoren [mm]x_1[/mm] bis [mm]x_n,[/mm] incl. [mm]x_i[/mm] ), deren
> Ergebnis nicht der Nullvektor ist, wenn der Koeffizient von
> [mm]x_i[/mm] ungleich [mm]0[/mm] ist.
>
> Ist das so richtig?
Ne, eine Linearkombination [mm] \not= [/mm] 0 gibt es ja immer (ausser es handelt sich nur um den Nullvektor..). Aber die Vektoren sind linear unabhängig, wenn es KEINE Linearkombination = 0 gibt, wenn die Koeffizienten [mm] a_{i} \not= [/mm] 0 sind.
>
>
>
> LG, Nadine
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:07 So 30.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Amaro!
Hmm, ok, ich glaube es dämmert leicht
Ich lass das jetzt erstmal sacken, dannach setz ich mich dann mal an Beweis und Beispiele...
Vielen Dank!
LG Nadine
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 So 30.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Amaro!
> > Ich lese sie so: [mm]x_i[/mm] ist linear unabhaengig von [mm]x_1, \dots, x_{i-1}, x_{i+1}, \dots, x_n[/mm]
> > genau dann, wenn es eine Linearkombination [mm]a_1 x_1+ \dots + a_n x_n[/mm]
> > gibt (aller Vektoren [mm]x_1[/mm] bis [mm]x_n,[/mm] incl. [mm]x_i[/mm] ), deren
> > Ergebnis nicht der Nullvektor ist, wenn der Koeffizient von
> > [mm]x_i[/mm] ungleich [mm]0[/mm] ist.
> >
> > Ist das so richtig?
>
> Ne, eine Linearkombination [mm]\not=[/mm] 0 gibt es ja immer (ausser
> es handelt sich nur um den Nullvektor..). Aber die Vektoren
> sind linear unabhängig, wenn es KEINE Linearkombination =
> 0 gibt, wenn die Koeffizienten [mm]a_{i} \not=[/mm] 0 sind.
Aber eigentlich ist deine Aussage doch wie meine, nur anders ausgedrückt, oder?
Quasi, wie wenn ich sage, x ist kleiner-gleich 5 und du machst daraus x ist nicht größer als 5.
Blödes Beispiel, aber irgendwie klingen die beiden Aussagen für mich so danach.
Kann man das in etwa so vergleichen?
LG, Nadine
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Hallo
> Hallo Amaro!
>
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> > > Ich lese sie so: [mm]x_i[/mm] ist linear unabhaengig von [mm]x_1, \dots, x_{i-1}, x_{i+1}, \dots, x_n[/mm]
> > > genau dann, wenn es eine Linearkombination [mm]a_1 x_1+ \dots + a_n x_n[/mm]
> > > gibt (aller Vektoren [mm]x_1[/mm] bis [mm]x_n,[/mm] incl. [mm]x_i[/mm] ), deren
> > > Ergebnis nicht der Nullvektor ist, wenn der Koeffizient von
> > > [mm]x_i[/mm] ungleich [mm]0[/mm] ist.
> > >
> > > Ist das so richtig?
> >
> > Ne, eine Linearkombination [mm]\not=[/mm] 0 gibt es ja immer (ausser
> > es handelt sich nur um den Nullvektor..). Aber die Vektoren
> > sind linear unabhängig, wenn es KEINE Linearkombination =
> > 0 gibt, wenn die Koeffizienten [mm]a_{i} \not=[/mm] 0 sind.
>
> Aber eigentlich ist deine Aussage doch wie meine, nur
> anders ausgedrückt, oder?
>
> Quasi, wie wenn ich sage, x ist kleiner-gleich 5 und du
> machst daraus x ist nicht größer als 5.
>
> Blödes Beispiel, aber irgendwie klingen die beiden
> Aussagen für mich so danach.
>
> Kann man das in etwa so vergleichen?
>
Du schliesst ja in deiner Version des Satzes nicht aus, dass es trotzdem eine Linearkombination geben kann, die 0 ergibt, ohne dass die [mm] a_{i} [/mm] = 0 sind.
Trotz einer Linearkombination, die [mm] \not= [/mm] 0 ist. Es kann beides parallel existieren :)
Du sagst lediglich, dass eine Linearkombination [mm] \not= [/mm] 0 existiert... das schliesst eine Linearkombination = 0 aber nicht aus!
Wenn du eine Familie linear abhängiger Vektoren hast, kannst du alle [mm] a_{i} [/mm] der linear abhängigen Vektoren auf 0 setzen und alle anderen [mm] \not= [/mm] 0, dann hast du eine Linearkombination [mm] \not= [/mm] 0, aber deine Familie ist trotzdem linear abhängig :)
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> LG, Nadine
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Grüsse, Amaro
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Hallo
Ich denke, du solltest mal eine Pause machen, dann evtl. noch was trinken (ich empfehle Kaffee), und dann nochmals alle Beiträge durchlesen ;)
> Kannst du mir die Folgerung von
>
> fuer alle [mm]a_1, \dots, a_n \in K[/mm] mit [mm]a_i \neq 0[/mm] gilt [mm]0 \neq a_1 x_1 \dots + a_n x_n[/mm]
>
Ok, was steht da? Da steht, dass wenn [mm] a_{i} \not= [/mm] 0 für alle i [mm] \in \{1,...,n\}, [/mm] eine beliebige Kombination deiner Vektoren [mm] x_{1},...,x_{n} [/mm] ungleich 0 sein muss. Also ist dies gleichbedeutend mit "0 lässt sich nicht als Linearkombination der Vektoren [mm] x_{1},...,x_{n} [/mm] darstellen, wenn [mm] a_{i} \not= [/mm] 0". Mehr steht da nicht.
Und warum das gelten muss, hat hauptsächlich Felix dir hergeleitet.
> nach
>
> Also ist [mm]x_i[/mm] genau dann unabhaengig von den anderen
> Vektoren, wenn es keine Linearkombination [mm]\sum_{j=1}^n a_j x_j[/mm]
> der [mm]x_j[/mm] gibt mit [mm]a_i \neq 0[/mm], die 0 ergibt.
>
Es steht da ja praktisch das gleiche wie oben.. nur die Summe wurde mit dem Summenzeichen zusammengefasst..
Nehmen wir ja an, dass eine Linearkombination deiner Vektoren existiert, die = 0 ist, für endlich viele [mm] a_{i} \not= [/mm] 0
Dann ist [mm] \summe_{i = 1}^{n} a_{i}x_{i} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \summe_{j = 1 (j \not=i)}^{n} a_{j}x_{j} [/mm] = [mm] -a_{i}x_{i}
[/mm]
Wie haben hier lediglich [mm] a_{i}x_{i} [/mm] auf die andere Seite gebracht.. auf der linken fehlt jetzt dieser Term..
nun, da nach Voraussetzung [mm] a_{i} \not= [/mm] 0 ist, können wir durch [mm] -a_{i} [/mm] dividieren.
Es bleibt stehen [mm] \summe_{j = 1 (j \not=i)}^{n} -\bruch{a_{j}x_{j}}{a_{i}} [/mm] = [mm] x_{i}
[/mm]
Und das würde bedeuten, dass [mm] x_{i} [/mm] als Linearkombination endlich vieler (haben wir oben vorausgesetzt) Vektoren [mm] x_{j} [/mm] (j [mm] \in \{1,...,n\} [/mm] \ [mm] \{i\}) [/mm] dargestellt werden kann.
Und falls du dich jetzt fragts: "Und was ist, wenn genau dieses [mm] a_{i} [/mm] das einzige Koeffizient ist, welches [mm] \not= [/mm] 0 ist?". Nun, dann würden bei der Gleichung alle Terme [mm] \bruch{a_{j}x_{j}}{a_{i}} [/mm] = 0 werden und es würde stehen bleiben 0 = [mm] x_{i} \Rightarrow x_{i} [/mm] ist der Nullvektor.
Du siehst, es kann also nicht sein, dass die Vektoren linear kombiniert den Nullvektor ergeben, ohne dass einer davon der Nullvektor selber ist (dann ist eine Familie sowieso linear abhängig), oder ohne dass mindestens 2 Vektoren linear abhängig sind.
> vielleicht nochmal auf absoluten Kindergartenniveau
> erklären?
>
> Ich glaub anders versteh ichs nicht mehr...
>
>
Mache wie gesagt eine kleine Pause und wenn du dann etwas immer noch nicht verstehen solltest, melde dich wieder ;)
>
> LG, Nadine
Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Amaro.
> Ich denke, du solltest mal eine Pause machen, dann evtl.
> noch was trinken (ich empfehle Kaffee), und dann nochmals
> alle Beiträge durchlesen ;)
Ich hab jetzt gestern gar nix mehr gemacht und versuch es jetzt heute nochmal neu.
> Ok, was steht da? Da steht, dass wenn [mm]a_{i} \not=[/mm] 0 für
> alle i [mm]\in \{1,...,n\},[/mm] eine beliebige Kombination deiner
> Vektoren [mm]x_{1},...,x_{n}[/mm] ungleich 0 sein muss. Also ist
> dies gleichbedeutend mit "0 lässt sich nicht als
> Linearkombination der Vektoren [mm]x_{1},...,x_{n}[/mm] darstellen,
> wenn [mm]a_{i} \not=[/mm] 0". Mehr steht da nicht.
Aaah, ok, jetzt hab ich das erstmal verstanden, was da steht.
Und wie ist das hier mit dem [mm] $a_i\not= [/mm] 0$?
Gilt das für alle [mm] a_i [/mm] gleichzeitig, oder nur für das spezielle [mm] a_i [/mm] oder für mehrere [mm] a_i [/mm] gleichzeitig?
Ok, und wie komme ich jetzt von hier dadrauf, dass bei linearer Unabhängigkeit der Vektoren das Ergebnis der Linearkombination $0$ ist, wenn alle Koeffizienten [mm] a_i [/mm] gleich $0$ sind?
Irgendwie blicke ich immer noch nicht so ganz durch...
LG, Nadine
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Hallo Nadine :)
> Hallo Amaro.
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> > Ok, was steht da? Da steht, dass wenn [mm]a_{i} \not=[/mm] 0 für
> > alle i [mm]\in \{1,...,n\},[/mm] eine beliebige Kombination deiner
> > Vektoren [mm]x_{1},...,x_{n}[/mm] ungleich 0 sein muss. Also ist
> > dies gleichbedeutend mit "0 lässt sich nicht als
> > Linearkombination der Vektoren [mm]x_{1},...,x_{n}[/mm] darstellen,
> > wenn [mm]a_{i} \not=[/mm] 0". Mehr steht da nicht.
>
> Aaah, ok, jetzt hab ich das erstmal verstanden, was da
> steht.
> Und wie ist das hier mit dem [mm]a_i\not= 0[/mm]?
> Gilt das für
> alle [mm]a_i[/mm] gleichzeitig, oder nur für das spezielle [mm]a_i[/mm] oder
> für mehrere [mm]a_i[/mm] gleichzeitig?
>
Es dürfen einfach nicht alle [mm] a_{i} [/mm] = 0 sein. Es geht darum, dass der Nullvektor nur erreicht wird, wenn ALLE [mm] a_{i} [/mm] = 0 sind.. sonst, sobald eines davon nicht = 0 ist und die Linearkombination trotzdem 0 ergibt, so sind die Vektoren linear abhängig.
> Ok, und wie komme ich jetzt von hier dadrauf, dass bei
> linearer Unabhängigkeit der Vektoren das Ergebnis der
> Linearkombination [mm]0[/mm] ist, wenn alle Koeffizienten [mm]a_i[/mm] gleich
> [mm]0[/mm] sind?
>
Ich habe es oben nochmals erläutert.. ich will mich hier nicht wiederholen :)
> Irgendwie blicke ich immer noch nicht so ganz durch...
>
>
Ach, das kommt schon.. einfach dran bleiben!
>
> LG, Nadine
Liebe Grüsse, Amaro
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Amaro!
Vielen Dank für deine Mühe.
> Es dürfen einfach nicht alle [mm]a_{i}[/mm] = 0 sein. Es geht
> darum, dass der Nullvektor nur erreicht wird, wenn ALLE
> [mm]a_{i}[/mm] = 0 sind.. sonst, sobald eines davon nicht = 0 ist
> und die Linearkombination trotzdem 0 ergibt, so sind die
> Vektoren linear abhängig.
D.h. aus der Aussage
0 lässt sich nicht als Linearkombination der Vektoren [mm] x_1,...,x_n [/mm] darstellen, wenn [mm] a_i\not=0 [/mm] ist (*)
kann ich direkt folgern, dass
0 lässt sich als Linearkombination der Vektoren [mm] x_1,...,x_n [/mm] darstellen, wenn [mm] a_i=0 [/mm] ist (**)
Aber jetzt muss es für alle [mm] a_i [/mm] gelten?
Man man, ist das kompliziert...
Und da [mm] x_i [/mm] ist linear unabhängig zu [mm] x_1,...,x_{i-1},x_{i+1},...,x_n [/mm] äquivalent zur Aussage (*) ist, ist das auch äquivalent zur Aussage (**)?
LG, Nadine
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Mo 31.08.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Dass man 0 rauskriegt , wenn man lauter Nullen addiert sollte dich nicht wundern.
also alle [mm] a_i=0
[/mm]
heisst [mm] 0*x1+0*x2+...0*x_n [/mm] =0
2. Wenn nicht alle [mm] a_i=0 [/mm] sind kann man umstellen und mindestens einen der [mm] x_i [/mm] als linerarkomb. der anderen schreiben.
3. Um lineare Abh. zu beweisen ist die Def . [mm] {x1,..x_n} [/mm] sind lin unabh, wenn a1x1+...+a_nxn=0 NUR gilt , wenn ALLE [mm] a_i=0
[/mm]
ist die einfachste Darstellung der lin. Unabhaengigkeit. Denn dann kannst du auf das Wissen ueber Loesungen von linearen GS zurueckgreifen und feststellen, ob das entsprechende lin. GS nur die "triviale" Loesung, also alle [mm] a_i=0 [/mm] hat.
Deine "anschauliche" Vorstellung, dass du sagst ich kann keinen Vektor als Kombination der anderen schreiben, wenn sie lin. unabhaengig sind, ist zwar richtig, aber a) nicht die anerkannte Def. und b) sehr unpraktisch fuer Beweise.
Willst du von jedem von z. Bsp 10 Vektoren aus [mm] \IR^{10} [/mm] das ausprobieren?
Entsprechend solltest du dir fuer lin. abh. auch nur merken: n Vektoren sind lin abh, wenn sie nicht lin unabh. sind. nichts anderes.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Mo 31.08.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Leduart!
Danke für deine Antwort.
> 1. Dass man 0 rauskriegt , wenn man lauter Nullen addiert
> sollte dich nicht wundern.
> also alle [mm]a_i=0[/mm]
> heisst [mm]0*x1+0*x2+...0*x_n[/mm] =0
Ja, klar, das ist mir schon klar
Die Frage war halt, ob ich das aus der Aussage folgern kann, dass sich 0 nicht als Linearkombination der Vektoren [mm] x_1,...,x_n [/mm] darstellen lässt, wenn [mm] a_i [/mm] ungleich 0, weil diese Aussage ja äquivalent zur Linearen Unabhängigkeit von [mm] x_1,...,x_n [/mm] war.
> Deine "anschauliche" Vorstellung, dass du sagst ich kann
> keinen Vektor als Kombination der anderen schreiben, wenn
> sie lin. unabhaengig sind, ist zwar richtig, aber a) nicht
> die anerkannte Def.
Das ist gut zu wissen, denn genau das war bzw. ist unsere Definition der linearen Unabhängigkeit von $n$ Vektoren.
Das mit dem
[mm] x_1,..,x_n [/mm] sind linear unabhängig, wenn [mm] a_1x_1+...+a_nx_n=0 [/mm] NUR gilt , wenn ALLE [mm] a_i=0 [/mm]
war bei uns nur ein kleiner Satz am Rande, und da ich den Beweis überhaupt nicht verstanden habe, habe ich ja dann hier gefragt, wo der Zusammenhang zwischen den beiden Aussagen ist.
LG, Nadine
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> > 1. Dass man 0 rauskriegt , wenn man lauter Nullen addiert
> > sollte dich nicht wundern.
> > also alle [mm]a_i=0[/mm]
> > heisst [mm]0*x1+0*x2+...0*x_n[/mm] =0
>
> Ja, klar, das ist mir schon klar
>
> Die Frage war halt, ob ich das aus der Aussage folgern
> kann, dass sich 0 nicht als Linearkombination der Vektoren
> [mm]x_1,...,x_n[/mm] darstellen lässt, wenn [mm]a_i[/mm] ungleich 0, weil
> diese Aussage ja äquivalent zur Linearen Unabhängigkeit
> von [mm]x_1,...,x_n[/mm] war.
Hallo,
[mm] (x_1,...x_n) [/mm] linear unabhängig
<==>
[mm] (\lambda_1x_1+...+\lambdax_n=0 [/mm] ==> [mm] \lambda_1=...=\lambda_n=0)
[/mm]
<==>
[mm] (\lambda_i\not=0 [/mm] für ein i ==> [mm] \lambda_1x_1+...+\lambdax_n\notT=0 [/mm] )
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:34 Fr 28.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> Ich lese die letze Zeile jetzt wie folgt:
>
> [mm]x_i[/mm] ist genau dann linear unabhängig, wenn für alle
> [mm]a_1,...,a_n[/mm] eine Linearkombination existiert, die ungleich
> [mm]0[/mm] ist.
>
> Aber das ist doch genau das falsche, oder?
> Die Linearkombination soll doch dachte ich [mm]0[/mm] ergeben
>
Das alles wird immer so kompliziert dargestellt.
Einfach vorstellen kann man sich das doch so:
Lege 2 Bleistifte, die nicht parallel verlaufen, auf den Tisch. Nun kannst du JEDEN Punkt auf dem Tisch erreichen, indem du ausschließlich in die Richtung läufst, in die die beiden Bleistifte zeigen. (das ist abhängig)
Aber du kannst keinen Punkt an der Decke erreichen (die ist nämlich unabhängig von den Bleistiften)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:56 Fr 28.08.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo
> Das alles wird immer so kompliziert dargestellt.
>
> Einfach vorstellen kann man sich das doch so:
> Lege 2 Bleistifte, die nicht parallel verlaufen, auf den
> Tisch. Nun kannst du JEDEN Punkt auf dem Tisch erreichen,
> indem du ausschließlich in die Richtung läufst, in die
> die beiden Bleistifte zeigen. (das ist abhängig)
>
> Aber du kannst keinen Punkt an der Decke erreichen (die ist
> nämlich unabhängig von den Bleistiften)
Naja, wenn sie dann aber anhand dieser linearen Abhängigkeit weitere Sätze beweisen muss, dann bringt es ihr nichts, wenn sie das Beispiel mit den Bleistiften kennt. Gerade eine Mathestudentin sollte die Abstraktion der Begriffe verstehen, nicht nur deren Bedeutung anhand einer Verbildlichung...
Darum finde ich es eigentlich relativ sinnvoll, wenn wir ihr die Begriffe anhand der mathematischen Definition zu erklären versuchen, anstatt alles immer zu verharmlosen.. denn es wird noch komplizierter kommen, und irgendwann sind die Begriffe wirklich abstrakt und es gibt keine Verbildlichungen mehr...
Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:59 Sa 29.08.2009 | | Autor: | rabilein1 |
> ..., anstatt alles immer zu verharmlosen.
> Denn es wird noch komplizierter kommen, und irgendwann sind
> die Begriffe wirklich abstrakt und es gibt keine Verbildlichungen mehr
Da hast du wohl Recht. Ab einem bestimmten Punkt ist das menschliche Vorstellungsvermögen an seine Grenze gelangt, und dann führt das nur noch zu abstrakten Formeln, die kein Mensch mehr als solche begreift.
Ich weiß auch nicht, ob es einen einzelnen Menschen gibt, der das Zusammenspiel sämtlicher Einzelteile eines Airbus im Detail versteht (obwohl jede Komponente für sich genommen ja von Menschen ausgetüftelt worden ist)
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