Lineare Unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:36 Mi 27.05.2009 | | Autor: | Doemmi |
| Aufgabe 1 | Es seien K ein Körper, k [mm] \le [/mm] n natürliche Zahlen, [mm] (v_{1},...,v_{k}) [/mm] eine Familie linear unabhängiger Vektoren des K-Vektorraums [mm] K^{n} [/mm] und [mm] (a_{i,j})_{i,j=1,...k} \in [/mm] M (k x k; K). Wir setzen
[mm] w_{i} [/mm] := [mm] \summe_{j=1}^{k}a_{i,j}v_{j} [/mm] (i = 1,...,k)
Zeigen Sie, dass [mm] (w_{1},...,w_{k}) [/mm] genau dann linear unabhängig ist, falls die Familie [mm] (a_{1},...,a_{k}) [/mm] gegeben durch
[mm] a_{i} [/mm] = [mm] (a_{i,j})_{i,j=1,...k} \in K^{k} [/mm] (i = 1,...,k)
linear unabhängig ist. |
| Aufgabe 2 | | Zeigen Sie, dass [mm] \IR [/mm] als Vektorraum über [mm] \IQ [/mm] nicht endlich erzeugt ist. |
zu Aufgabe 1)
Eine Vektorfamilie ist dann linear unabhängig, wenn sie nicht den Nullvektor enthält. Linear unabhängig heißt ja, dass, wenn die Summe der Linearkombination 0 ist, dass alle [mm] \lambda_{1}=...=\lambda_{k}.
[/mm]
Nun muss ich ja beide Richtungen [mm] "\Rightarrow" [/mm] und [mm] "\Leftarrow" [/mm] zeigen, allerdings bin ich gerade völlig überfordert, wie.
zu Aufgabe 2)
Ich habe leider keine Ahnung...
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:27 Do 28.05.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo Tommy,
ich hab mal ein bisschen rumgerechnet... Angefangen bei der [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] Richtung:
Die [mm] $w_i$ [/mm] seien linear unabhängig. Also [mm] $\sum\limits_{l=1}^k \lambda_l w_l =0\quad \Leftrightarrow \quad\lambda_l =0\quad \forall l=1\ldots [/mm] k$
So, das habe ich mal für $k=n=3$ ausgeschrieben:
[mm] $\sum\limits_{l=1}^3 \lambda_l w_l =\sum\limits_{l=1}^3\lambda_l \sum\limits_{j=1}^3 a_{lj}v_j =\ldots =\lambda_1(a_{11}v_1+a_{12}v_2+a_{13}v_3)+\lambda_2(a_{21}v_1+a_{22}v_2+a_{23}v_3)+\lambda_3(a_{31}v_1+a_{32}v_2+a_{33}v_3)$
[/mm]
Jetzt ein bisschen umsortieren:
[mm] $=(\red{\lambda_1a_{11}+\lambda_2a_{21}+\lambda_3a_{31}})v_1+(\blue{\lambda_1a_{12}+\lambda_2a_{22}+\lambda_3a_{32}})v_2+(\green{\lambda_1a_{13}+\lambda_2a_{23}+\lambda_3a_{33}})v_3\quad (\star)$
[/mm]
Dann hab ich geschaut, wo ich "hinwill" - die [mm] $a_i$ [/mm] sollen linear unabhängig sein, bzw. das soll gezeigt werden...
[mm] $a_i$ [/mm] unabh. [mm] $\Leftrightarrow$ $\left(\sum\limits_{i=1}^k \lambda_ia_i=0\quad\Leftrightarrow \quad \lambda_i=0\quad\forall i=1\ldots k\right)$
[/mm]
Wieder für $k=n=3$ hingeschrieben (eigentlich sind es ja Zeilenvektoren, aber der Übersicht halber hab ich mal Spaltenvektoren genommen):
[mm] $\sum\limits_{i=1}^3 \lambda_ia_i=\lambda_1\vektor{a_{11}\\a_{12}\\a_{13}}+\lambda_2\vektor{a_{21}\\a_{22}\\a_{23}}+\lambda_3\vektor{a_{31}\\a_{32}\\a_{33}}=\vektor{\red{\lambda_1 a_{11}+\lambda_2 a_{21}+\lambda_3 a_{31}} \\ \blue{\lambda_1 a_{12}+\lambda_2 a_{22}+\lambda_3 a_{32}}\\ \green{\lambda_1 a_{13}+\lambda_2 a_{23}+\lambda_3 a_{33}} }\quad (\star\star)$
[/mm]
Was auffällt ist, dass die Komponenten des Vektors genau die Klammern vor den [mm] $v_i$ [/mm] oben sind...
Mein Ansatz wäre jetzt:
die [mm] $w_i$ [/mm] sind lin. unabh. [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Gleichung [mm] $(\star)$ [/mm] $=0$ genau dann, wenn alle [mm] $\lambda_i=0$ [/mm] sind. Da die [mm] $v_i$ [/mm] nach Vor. lin. unabh. sind, gilt: Gleichung [mm] $(\star)$ [/mm] $=0$ genau dann, wenn die bunten Klammern jeweils $=0$ sind. [mm] $\stackrel{?}{\Rightarrow}$ [/mm] die [mm] $a_i$ [/mm] sind lin. unabh.
Überleg dir, was sich ändert, wenn [mm] $k\leq n\neq [/mm] 3$ ist.
Hoffentlich hab ich dich ein bisschen weiter gebracht.
Lieben Gruß,
Fulla
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> Zeigen Sie, dass [mm]\IR[/mm] als Vektorraum über [mm]\IQ[/mm] nicht endlich
> erzeugt ist.
Hallo,
den Beweis kannst Du per Widerspruch führen.
Nimm an, daß die Dimension von [mm] \IR [/mm] über [mm] \IQ [/mm] endlich ist.
Wie kann man dann ein jedes Element aus [mm] \IR [/mm] schreiben?
Denke anschließend über die Mächtigkeiten von [mm] \IQ [/mm] und [mm] \IR [/mm] nach.
Gruß v. Angela
P.S.: In Zukunft bitte getrennte Aufgaben in getrennte Diskussionen.
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