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Sei K ein Körper.Im K-Vektorraum K hoch [mm] \IN [/mm] = [mm] Map(\IN,K).Wir [/mm] definieren für jedes m Elemente von N den Vektor e hoch (m).
e hoch (m):= [mm] (\delta [/mm] m,n),wobei [mm] \delta [/mm] m,m = 1 und [mm] \delta [/mm] m,n =0 falls m#n.
wie zeigt man bitte,dass die Folge (e hoch (m))m Element von [mm] \IN [/mm] in K hoch [mm] \IN [/mm] linear unabhängig ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:52 Sa 17.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei K ein Körper.Im K-Vektorraum K hoch [mm]\IN[/mm] =
> [mm]Map(\IN,K).Wir[/mm] definieren für jedes m Elemente von N den
> Vektor e hoch (m).
> e hoch (m):= [mm](\delta[/mm] m,n),wobei [mm]\delta[/mm] m,m = 1 und [mm]\delta[/mm]
> m,n =0 falls m#n.
> wie zeigt man bitte,dass die Folge (e hoch (m))m Element
> von [mm]\IN[/mm] in K hoch [mm]\IN[/mm] linear unabhängig ist?
kannst Du das vll. ein wenig leserlicher schreiben? Ich bin mir gerade nicht ganz sicher, aber wenn ich das richtig sehe, müsste (wenn ich hier die "Vektoren" als Zeilenvektoren schreibe)
[mm] $e^{1}=(1,0,0,0,.,.,...)$ [/mm] (also quasi "der Vektor mit abzählbar unendlich vielen 0en, der nur an der ersten Stelle eine 1 stehen hat")
[mm] $e^{2}=(0,1,0,0,.,.,...)$ [/mm] (also quasi "der Vektor mit abzählbar unendlich vielen 0en, der nur an der zweiten Stelle eine 1 stehen hat")
[mm] $e^{3}=(0,0,1,0,.,.,...)$
[/mm]
[mm] $e^{4}=(0,0,0,1,.,.,...)$
[/mm]
.
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.
sein.
(Beachten solltest Du dabei, dass eigentlich: [mm] $1=1_K \in [/mm] K$ (neutrales Element der Multiplikation in $K$) und [mm] $0=0_K \in [/mm] K$ (neutrales Element der Addition in $K$). Aber generell kannst Du hier quasi auch so rechnen, als hättest Du speziell [mm] $K=\IR$ [/mm] gegeben. Ich hoffe, dass Dir das, wenn der Beweis fertig ist, klar ist.)
Betrachtet wird nun die Menge [mm] $E:=\{e^{k}, \;\;k \in \IN\} \subset Map(\IN,K)$. [/mm]
(Beachte auch, dass sich jeder unendliche Vektor mit abzählbar vielen Komponenten mit einer Folge, also einer Abbildung [mm] $\IN \to [/mm] K$ hier identifizieren läßt.)
Wenn ihr die mir geläufige Definition zugrundegelegt habt, so musst Du dann nur zeigen:
Wenn ich endlich viele Vektoren aus $E$ herausnehme, so ist diese Menge linear unabhängig, d.h. eine jede endliche Linearkombination mit Vektoren aus $E$ ergibt genau dann denn Nullvektor (mit der hier speziellen Darstellung $(0,0,0,0,.,.,...)$), wenn alle Koeffizienten verschwinden. Das ist dann eigentlich nicht schwer. Wenn Euch eine andere Definition, wann eine unendliche Teilmenge linear unabhängig ist, zugrundeliegt, solltest Du uns die mitteilen.
Und das alles stimmt so auch nur, wenn ich Deine "Notationen" oben überhaupt richtig und nicht fehlinterpretiere.
Gruß,
Marcel
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