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| Aufgabe | | Seien u und v Vektoren aus [mm] \IR^n [/mm] so, dass die Menge {u,v} linear unabhängig ist . Für welche a,b,c,d [mm] \in \IR [/mm] ist die Menge [mm] {a\*u+b\*v, c\*u+d\*v} [/mm] linear unabhängig ? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Hallihallo :) Nachdem ich mir jetzt einige Zeit lang den Kopf über dieser Aufgabe zerbrochen habe :meine Ergebnisse bislang.
Lineare Abhängigkeit:(zwar nicht gefragt ,aber für das Verständnis einfach mal aufgeschrieben .)
Falls a=b=c=d --> lin abhängig
Falls v2:= c*u+d*v ein Vielfaches von v1:= a*u+b*v ist dann sind die Vektoren auch linear abhängig.
Falls a=b=0 und b=c [mm] \not= [/mm] 0 sind -->lin abhängig
Lineare Unabhängigkeit:
Falls man v1 und v2 nicht als Linearkombination darstellen kann -->lin unabhängig.
Die Lösung dieser Aufgabe würde ich auch in der obigen Form einfach so niederschreiben ,da ich nicht weiß wie ich das Problem "mathematisch " angehen soll. Gibt es irgendwelche Kniffe wie man solche oder ähnliche Aufgaben angehen kann ? Stimmen meine Überlegungen bisher ? Gibt es noch Ergänzungen ? Wie würdet ihr diese Aufgabe zum Beispiel in einer Klausur lösen ?
Vielen Dank für jegliche Hilfen !
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> Seien u und v Vektoren aus [mm]\IR^n[/mm] so, dass die Menge {u,v}
> linear unabhängig ist . Für welche a,b,c,d [mm]\in \IR[/mm] ist die
> Menge [mm]{a\*u+b\*v, c\*u+d\*v}[/mm] linear unabhängig ?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
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> Hallihallo :) Nachdem ich mir jetzt einige Zeit lang den
> Kopf über dieser Aufgabe zerbrochen habe :meine Ergebnisse
> bislang.
> Lineare Abhängigkeit:(zwar nicht gefragt ,aber für das
> Verständnis einfach mal aufgeschrieben .)
> Falls a=b=c=d --> lin abhängig
> Falls v2:= c*u+d*v ein Vielfaches von v1:= a*u+b*v ist
> dann sind die Vektoren auch linear abhängig.
> Falls a=b=0 und b=c [mm]\not=[/mm] 0 sind -->lin abhängig
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> Lineare Unabhängigkeit:
> Falls man v1 und v2 nicht als Linearkombination darstellen
> kann -->lin unabhängig.
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> Die Lösung dieser Aufgabe würde ich auch in der obigen Form
> einfach so niederschreiben ,da ich nicht weiß wie ich das
> Problem "mathematisch " angehen soll. Gibt es irgendwelche
> Kniffe wie man solche oder ähnliche Aufgaben angehen kann ?
Hier kannst Du praktisch blind, immer schön mit der Hand am "Geländer der Definitionen relevanter Begriffe" vorwärts gehen.
Im Detail: Die Frage ist, für welche [mm] $a,b,c,d\in \IR$ [/mm] die beiden Vektoren [mm] $a\vec{u}+b\vec{v}$ [/mm] und [mm] $c\vec{u}+d\vec{v}$ [/mm] linear-unabhängig sind (unter der Voraussetzung, dass [mm] $\vec{u}$ [/mm] und [mm] $\vec{v}$ [/mm] linear-unabhängig sind). Dies ist (definitionsgemäss) genau dann der Fall, wenn diese beiden Vektoren nur die triviale Nullsumme bilden können. Wenn also aus
[mm]\lambda(a\vec{u}+b\vec{v})+\mu(c\vec{u}+d\vec{v})=\vec{0}[/mm]
folgt, dass [mm] $\lambda=\mu=0$ [/mm] ist.
Diese Gleichung kannst Du leicht auf die folgende Form bringen:
[mm](\lambda a+\mu c)\vec{u}+(\lambda b+\mu d)\vec{v}=\vec{0}[/mm]
Da [mm] $\vec{u}$ [/mm] und [mm] $\vec{v}$ [/mm] aber linear unabhängig sind, folgt daraus, dass gelten muss:
[mm]\begin{array}{crcrcl|}
\text{(1)} & a\lambda &+& c\mu &=& 0\\
\text{(2)} & b\lambda &+& d\mu &=& 0\\\cline{2-6}
\end{array}
[/mm]
Dies ist ein homogen-lineares Gleichungssystem für [mm] $\lambda, \mu$, [/mm] von dem Du nun herausfinden musst, unter welcher Bedingung für $a,b,c,d$ es nur die triviale Lösung [mm] $\lambda=\mu=0$ [/mm] besitzt.
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So also so langsam habe ich deinen Weg durchschaut !Danke für die Hilfestellung.
Aber wie geht es nun weiter ? Ich habe eine homogenes Gleichungssystem und will zeigen ,dass für spezielle Werte a,b,c,d .Meine beiden Variablen =0 sind. Wie mache ich dies ? Ich habe erstmal versucht das Lgs auf Stufenform zu bringen . Dies ist mir auch gelungen ..doch dann habe ich einen Term da stehen multipliziert mit der Variablen [mm] \mu [/mm] = [mm] \mu [/mm] . Ich weiss beim Besten Willen nicht was ich daraus schließen soll ? Soweit ich weiss darf ich ja auch nicht durch [mm] \lambda [/mm] oder [mm] \mu [/mm] teilen ,da sie ja 0 werden müssen ? Was tun ? Wie geht es weiter ?
Dankeschön im Voraus !
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> So also so langsam habe ich deinen Weg durchschaut !Danke
> für die Hilfestellung.
> Aber wie geht es nun weiter ? Ich habe eine homogenes
> Gleichungssystem und will zeigen ,dass für spezielle Werte
> a,b,c,d .Meine beiden Variablen =0 sind. Wie mache ich dies
> ? Ich habe erstmal versucht das Lgs auf Stufenform zu
> bringen . Dies ist mir auch gelungen ..doch dann habe ich
> einen Term da stehen multipliziert mit der Variablen [mm]\mu[/mm] =
> [mm]\mu[/mm] . Ich weiss beim Besten Willen nicht was ich daraus
> schließen soll ?
Na, ich denke [mm] $\mu [/mm] = [mm] \mu$ [/mm] kannst Du nicht erhalten haben. Aber zum Beispiel so etwas: [mm] $(ad-bc)\lambda [/mm] = 0$. Daraus würde folgen, dass das Gleichungssystem genau dann nur die triviale Lösung hat, falls [mm] $ad-bc\neq [/mm] 0$ ist. Denn in diesem Falle könntest Du aus dieser Gleichung auf [mm] $\lambda=0$ [/mm] schliessen. Einsetzen dieses Wertes von [mm] $\lambda$ [/mm] in das ursprüngliche Gleichungssystem würde dann sogleich auch [mm] $\mu=0$ [/mm] ergeben.
>Soweit ich weiss darf ich ja auch nicht
> durch [mm]\lambda[/mm] oder [mm]\mu[/mm] teilen ,da sie ja 0 werden müssen ?
Es gibt bei einem linearen Gleichungssystem für [mm] $\lambda,\mu$ [/mm] mit Sicherheit keinen vernünftigen Grund je durch [mm] $\lambda$ [/mm] oder [mm] $\mu$ [/mm] dividieren zu wollen.
Ich hoffe Dir war bei diesem Versuch, das Gleichungssystem aufzulösen, klar, dass [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] die Variablen sind, $a,b,c,d$ hingegen blosse Konstanten.
> Was tun ? Wie geht es weiter ?
Wie geht es weiter? - Das hängt davon ab, was Du an pfannenfertigem Wissen über homogen-lineare [mm] $n\times [/mm] n$ Gleichungssysteme mitbringst. Das fragliche System hat genau dann nur die triviale Lösung [mm] $\lambda=\mu=0$ [/mm] wenn die Koeffizientenmatrix regulär ist, das heisst in diesem Falle, wenn deren Determinante
[mm]\begin{vmatrix}
a & c\\
b & d
\end{vmatrix} = ad-bc[/mm]
nicht gleich $0$ ist. Dies ist einfach die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass das System genau eine Lösung hat (die triviale hat es ja immer: weil dieses System eben homogen-linear ist).
Aber auch wenn Du diese Geschichte mit der Determinante noch nicht oder nicht mehr weisst, kannst Du auf dieselbe Bedingung kommen, indem Du einfach versuchst, das Gleichungssystem aufzulösen. Meiner Meinung lautet die Antwort auf die ursprüngliche Aufgabenstellung also, dass [mm] $ad-bc\neq [/mm] 0$ (oder, was das selbe ist) [mm] $ad\neq [/mm] bc$ sein muss.
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