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Hi,
die eigentliche Frage kommt unten in Rot.
[Dateianhang nicht öffentlich]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Gesucht: Basis von U
$U:=\{\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ v_4} \in \IR^4: v_3=v_1\ und\ v_4=v_1+v_2 \}\}$
$U:=\{\vektor{v_1 \\ v_2 \\ v_1 \\ v_1+v_2}:v_1, v_2 \in \IR\}\}$
$U:=\{v_1*\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}+v_2*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}:v_1, v_2 \in \IR\}$
$U:=span\{\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}\}$
Zu zeigen:
1. $U:=span\{\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}\}$ (siehe oben)
2. Ich muss zeigen dass die Vektoren ein minimales erzeugenden System bzw. die Vektoren linear unabhängig sind.
Lineare Unabhängigkeit zeigen für alle a, b mit $a*\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}+b*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}=\vec{0}$
Ich habe daraus ein LGS gemacht:
$a*1+b*0=0 \Rightarrow a=0$
$a*0+b*1=0 \Rightarrow b=0$
$a*1+b*0=0 \Rightarrow a=0$
$a*1+b*1=0 \Rightarrow a+b=0$
Daraus folgt $a=b=0$ d. h. sie sind linear unabhängig!
Man sieht schon auf den ersten Blick, dass die Vektoren linear unabhängig voneinander sind, da man sie den einen durch Multiplikation eines Skalars \lambda nicht darstellen kann.
Jetzt wollte ich einmal den Fall (einfach nur Interesse mäßig) durchspielen, falls ich mich vertan hätte oder einfach mal eine Aufgabe hätte, bei denen die beiden Vektoren nicht linear unabhängig sind.
Lineare Unabhängigkeit zeigen für alle a, b mit $a*\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}+b*\vektor{2 \\ 2 \\ 2 \\ 2}=\vec{0}$
Ich habe daraus ein LGS gemacht (wäre auch über Gauß möglich gewesen, aber ich wollte es über das LGS machen da ich hierzu eine Frage habe):
$a*1+b*2=0 \Rightarrow a+2b=0$
$a*1+b*2=0 \Rightarrow a+2b=0$
$a*1+b*2=0 \Rightarrow a+2b=0$
$a*1+b*2=0 \Rightarrow a+2b=0$
So, hieraus erkenne ich nicht, dass diese zwei Vektoren nicht linear unabhängig sein sollen. Oder kann man die beiden Vektoren wie ich sie einfach mal aufgestellt habe nicht aufstellen? Wenn dies so wäre, hat jemand ein Beispiel für zwei nicht linear abhängige Vektoren, für die ich das mal "durchrechnen" könnte?
Danke für die Hilfe!
Gruß Thomas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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ich muss gestehen dass ich nicht weiß wo du hängst:
bei lin. unabhängigkeit findest du ja KEIN a, b für die das gilt:
a+2b=0
hier gibt es z.b. die Möglichkeit: a=-2 , b=1
-2+2=0
und damit ist es linear abhängig.
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> ich muss gestehen dass ich nicht weiß wo du hängst:
> bei lin. unabhängigkeit findest du ja KEIN a, b für die
> das gilt:
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> a+2b=0
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> hier gibt es z.b. die Möglichkeit: a=-2 , b=1
> -2+2=0
>
> und damit ist es linear abhängig.
>
>
Hi,
oh da habe ich mir das falsch gemerkt. D. h. meine erste Rechnung die beiden Vektoren wären auch nicht linear unabhängig.
Lineare Unabhängigkeit zeigen für alle a, b mit [mm] $a*\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}+b*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}=\vec{0}$ [/mm]
1. $a*1+b*0=0 [mm] \Rightarrow [/mm] a=0$
2. $a*0+b*1=0 [mm] \Rightarrow [/mm] b=0$
3. $a*1+b*0=0 [mm] \Rightarrow [/mm] a=0$
4. $a*1+b*1=0 [mm] \Rightarrow [/mm] a+b=0$
Für die ersten 3 Gleichungen $a=0,\ b=8\ [mm] \Rightarrow [/mm] 0*1+8*0 = 0$ d. h. es wäre linear Abhängig da ich ein a, b gefunden habe bei dem =0 heraus kommt. Oder zählt die 0 nicht dazu? Also darf ich die 0 für eine Variable nicht einsetzen?
Für die 4.te Gleichung $a=4,\ b=-4\ [mm] \Rightarrow [/mm] 1*4+1*-4 = 0$ d. h. dieser wäre auch nicht linear Abhängig oder?
Edit: Mir ist gerade noch etwas gekommen, kann es sein, dass wenn in diesem Fall eine der vier Gleichungen linear unabhängig ist, dass dann der ganze Vektor linear unabhängig ist?
Danke Gruß Thomas
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> Lineare Unabhängigkeit zeigen für alle a, b mit [mm]a*\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}+b*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}=\vec{0}[/mm]
>
ohna das jetzt rechnerisch nachgeprüft zu haben SEHE ich dass der nur lin. unabhängig sein kann: allein die 1. Einträge: egal was ich für a oder b einsetzte: man kann die 1a=0 NIE lösen wenn man etwas anderes außer 0 einsetzt, genauso bei b. allein bei der 1. Zeile sieht man dass a=b=0 sein muss. und damit sind sie lin. unabhängig.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:49 Sa 20.01.2007 | | Autor: | KnockDown |
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> > Lineare Unabhängigkeit zeigen für alle a, b mit [mm]a*\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}+b*\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 1}=\vec{0}[/mm]
> >
>
> ohna das jetzt rechnerisch nachgeprüft zu haben SEHE ich
> dass der nur lin. unabhängig sein kann: allein die 1.
> Einträge: egal was ich für a oder b einsetzte: man kann die
> 1a=0 NIE lösen wenn man etwas anderes außer 0 einsetzt,
> genauso bei b. allein bei der 1. Zeile sieht man dass a=b=0
> sein muss. und damit sind sie lin. unabhängig.
Ja das habe ich auch gesehen, aber wie kann ich das im LGS zeigen? Ich muss das ganze doch "beweisen" dass es so ist!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 Sa 20.01.2007 | | Autor: | celeste16 |
I 1a + 0b = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a + 0 = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a=0
II 0a + 1b = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] b = 0
(III 1a + 0b = 0
1*0 + 0b = 0
0 = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] wahre Aussage
IV 1a + 1b = 0
1*0 + 1*0 = 0
0 = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] wahre Aussage )
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 So 21.01.2007 | | Autor: | KnockDown |
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> I 1a + 0b = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] a + 0 = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] a=0
> II 0a + 1b = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] b = 0
>
> (III 1a + 0b = 0
> 1*0 + 0b = 0
> 0 = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] wahre Aussage
>
> IV 1a + 1b = 0
> 1*0 + 1*0 = 0
> 0 = 0 [mm]\Rightarrow[/mm] wahre Aussage )
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Hi, danke jetzt hab ich das verstanden. Also man kann dan das was man bei I und II heraus bekommt a=0 und b=0 in die III und IV einsetzen. Dann hab ich das verstanden :)
Danke!
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