Lineare Unabhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Mo 18.05.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Sei V der Vektorraum der Polynome aus [mm] \IK[x] [/mm] von Grad kleiner als 3, also der Form p(x) = [mm] a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}. [/mm] Untersuchen Sie die lineare Unabhängigkeit der Polynome: [mm] p_{1}(x) [/mm] = [mm] 1x^{2} [/mm] + [mm] 0x^{1} [/mm] + [mm] 1x^{0}, p_{2}(x) [/mm] = [mm] 2x^{2} [/mm] + [mm] 2x^{1} +0x^{0}, p_{3}(x) [/mm] = [mm] 3x^{2} [/mm] + [mm] 3x^{1} [/mm] + [mm] 1x^{0} [/mm] für:
a) [mm] \IK [/mm] = [mm] \IR
[/mm]
b) [mm] \IK [/mm] = [mm] \IZ_{2}
[/mm]
c) [mm] \IK [/mm] = [mm] \IZ_{5} [/mm] |
Ich betrachte die Polynome als:
[mm] p_{1}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1} p_{2}=\vektor{2 \\ 2 \\ 0} p_{3}=\vektor{3 \\ 3 \\ 1} [/mm]
Setze die in eine Gleichungssystem für [mm] \IK [/mm] = [mm] \IR
[/mm]
1 2 3
0 2 3
1 0 1
und komme mit Hilfe von Gauß
1 2 3
0 2 3
0 0 1
Also ist [mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] \lambda_{3} [/mm] = 0
und die Vektoren bzw Polynome sind linear unabhängig.
Habe ich die Aufgabe a richtig gelöst ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Mo 18.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei V der Vektorraum der Polynome aus [mm]\IK[x][/mm] von Grad
> kleiner als 3, also der Form p(x) =
> [mm]a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}.[/mm] Untersuchen Sie die
> lineare Unabhängigkeit der Polynome: [mm]p_{1}(x)[/mm] = [mm]1x^{2}[/mm] +
> [mm]0x^{1}[/mm] + [mm]1x^{0}, p_{2}(x)[/mm] = [mm]2x^{2}[/mm] + [mm]2x^{1} +0x^{0}, p_{3}(x)[/mm]
> = [mm]3x^{2}[/mm] + [mm]3x^{1}[/mm] + [mm]1x^{0}[/mm] für:
>
> a) [mm]\IK[/mm] = [mm]\IR[/mm]
> b) [mm]\IK[/mm] = [mm]\IZ_{2}[/mm]
> c) [mm]\IK[/mm] = [mm]\IZ_{5}[/mm]
> Ich betrachte die Polynome als:
> [mm]p_{1}=\vektor{1 \\ 0 \\ 1} p_{2}=\vektor{2 \\ 2 \\ 0} p_{3}=\vektor{3 \\ 3 \\ 1}[/mm]
>
> Setze die in eine Gleichungssystem für [mm]\IK[/mm] = [mm]\IR[/mm]
> 1 2 3
> 0 2 3
> 1 0 1
>
> und komme mit Hilfe von Gauß
>
> 1 2 3
> 0 2 3
> 0 0 1
na, da könntest Du mehr dazu schreiben. Vermutlich hast Du 1. - 3. Zeile
gerechnet und dann
0 2 2
erhalten, insgesamt
1 2 3
0 2 3
0 2 2
Jetzt 2. - 3. Zeile und die dritte Zeile dadurch ersetzt
1 2 3
0 2 3
0 0 1
> Also ist [mm]\lambda_{1}[/mm] = [mm]\lambda_{2}[/mm] = [mm]\lambda_{3}[/mm] = 0
Ja, auch da könte man ein wenig mehr dazuschreiben, wie man drauf kommt.
Du fängst halt eigentlich mit [mm] $\lambda_3=0$ [/mm] an, gehst dann in die 2. Zeile
usw.
> und die Vektoren bzw Polynome sind linear unabhängig.
>
> Habe ich die Aufgabe a richtig gelöst ?
Ja. Du solltest nur vielleicht noch etwas zur Koordinatenabbildung sagen,
und was das mit einem Vektorraumisomorphismus zu tun hat.
P.S. Du hättest auch direkt die Determinante der durch das folgende Schema
1 2 3
0 2 3
1 0 1
gegebenen Matrix bestimmen können:
$1*2*1+2*3*1+3*0*0-1*2*3-0*3*1-1*0*2=2+6+0-6-0-0=2 [mm] \neq [/mm] 0$
Damit ist die Matrix invertierbar und - kurz überlegen - wir haben sogar
eine Basis!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 Mo 18.05.2015 | | Autor: | rsprsp |
Ich halte mich eigentlich nur an die Aufgabenstellung und versuche hier im Forum nur Teilergebnisse anzugeben um mir möglichst Zeit und Arbeit zu sparen.
Wenn ich die Aufgabe komplett gelöst habe werde ich sie mit den Ergebnissen nochmal hier zur Korrektur stellen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Mo 18.05.2015 | | Autor: | rsprsp |
Also
Für [mm] \IK [/mm] = [mm] \IR [/mm] und IK = [mm] \IZ_{5} [/mm] gilt:
1 2 3
0 2 3
1 0 1
I-III
1 2 3
0 2 3
0 2 2
II-III
1 2 3
0 2 3
0 0 1
d.h sind die Polynome linear Unabhängig!
Für IK = [mm] \IZ_{2} [/mm] gilt:
1 0 1
0 0 1
1 0 1
I-III
1 0 1
0 0 1
0 0 0
d.h. die Polynome sind linear Abhängig im IK = [mm] \IZ_{2}.
[/mm]
Kann ich das so schreiben ? Ist das richtig ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 Mo 18.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich halte mich eigentlich nur an die Aufgabenstellung und
> versuche hier im Forum nur Teilergebnisse anzugeben um mir
> möglichst Zeit und Arbeit zu sparen.
das ist auch okay. ABER ein kleines Manko: Du hättest z.B., ohne die
(Matrix-)Ergebnisse zu präsentieren, dennoch dabei schreiben können,
was Du im einzelnen gerechnet hast.
(Ich habe zuerst die 1. - 3. Zeile gerechnet, und dieses Ergebnis ersetzt
dann die dritte Zeile der Ausgangsmatrix, danach 2.-3.Zeile und 3.Zeile
ersetzt...)
Stell' Dir vor, Du machst einen *Fahrplan*.
Musterbeispiel:
FRED 
> Wenn ich die Aufgabe komplett gelöst habe werde ich sie
> mit den Ergebnissen nochmal hier zur Korrektur stellen.
Ich habe ja auch nur den Teil kontrolliert, den Du kontrolliert haben
wolltest. Der ist aber definitiv okay. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
P.S. Kleine Kritik: Wenn DU für DICH Zeit und Arbeit sparen willst, dann
bedenke, dass es passieren kann, dass, wenn Du zuviel Arbeit sparst,
wir ständig nachfragen müssen, was Du da gerechnet hast und Dich
ggf. bitten müssen, es vorzurechnen, um Deine(n) Fehler zu korrigieren.
Das kann durchaus zeit- und arbeitsintensiver werden, als, wenn Du
direkt ein klein wenig mehr dazu schreibst.
Das ist aber auch ein wenig Gefühl- und Erfahrungssache: Wenn Du z.B.
sagst
"Ich habe [mm] $f(x)=x^2+2x+1$ [/mm] zu [mm] $f(x)=(x+1)^2$ [/mm] umgeschrieben, und da sieht
man, dass der Scheitelpunkt $(-1,0)$ ist"
wird das jeder akzeptieren. Binomische Formeln sind Standard. Wenn Du
einfach nur sagst
"Der Scheitelpunkt von [mm] $f(x)=x^2+2x+1$ [/mm] ist $(-1,0)$."
werden einige nachfragen: "Wie hast Du das denn gerechnet?"
Es gibt ja auch andere Wege, etwa [mm] $f\,'(x)=2x+2\stackrel{!}{=}0$...
[/mm]
Bei Deiner Aufgabe hier fand ich das aber noch akzeptabel, denn der Gauß-
Algorithmus ist auch *Standard* und hier gibt es nicht viele Wege. Bei
mehreren Gleichungen mit mehreren Variablen [mm] ($\ge [/mm] 5$ vielleicht) würde ich
aber wenigstens wissen wollen, was Du da im einzelnen gerechnet hast...
Gruß,
Marcel
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