Lineare Unabhängigkeit < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 So 22.03.2015 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | | Zeige dass jede Auswahl von drei unterschiedlichen Vektoren aus [mm] {(1,x,x^2),x \in R} [/mm] linear unabhängig ist. |
Ich habe das einfach mit der Def. der linearen Unabhängigkeit probiert, komme aber mit dem daraus resultierenden Gleichungssystem nicht weiter. Gibt es irgendeinen Trick um das GS zu lösen oder muss man hier anders vorgehen?
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 So 22.03.2015 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Zeige dass jede Auswahl von drei unterschiedlichen Vektoren
> aus [mm]{(1,x,x^2),x \in R}[/mm] linear unabhängig ist.
> Ich habe das einfach mit der Def. der linearen
> Unabhängigkeit probiert, komme aber mit dem daraus
> resultierenden Gleichungssystem nicht weiter. Gibt es
was soll das heißen? Wie sieht denn das LGS aus und woran scheiterst Du?
> irgendeinen Trick um das GS zu lösen oder muss man hier
> anders vorgehen?
Ob es einen Trick gibt weiß ich nicht, aber mit der Definition der linearen Unabhängigket klappt das auf jeden Fall.
>
> Vielen Dank!
Gruß,
notinX
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 So 22.03.2015 | | Autor: | Cccya |
Ok ich glaub ich habs [mm] a\vektor{1 \\ x \\ x^2} [/mm] + b [mm] \vektor{1 \\ y \\ y^2} [/mm] + c [mm] \vektor{1 \\ z \\ z^2}= [/mm] 0
=> a+b+c=0
ax+by+cz=0
[mm] ax^2+by^2+cz^2=0
[/mm]
=> [mm] \pmat{ a & b & c \\ 0 & by-bx & cz-cx \\ 0 & 0 & cz^2-czx + cxy - czy }
[/mm]
und aus [mm] cz^2-czx+cxy-czy=0 [/mm] folgt c=0=> b=a=0 oder z=x=y was ja ausgeschlossen war?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 So 22.03.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok ich glaub ich habs [mm]a\vektor{1 \\ x \\ x^2}[/mm] + b [mm]\vektor{1 \\ y \\ y^2}[/mm]
> + c [mm]\vektor{1 \\ z \\ z^2}=[/mm] 0
>
> => a+b+c=0
>
> ax+by+cz=0
>
> [mm]ax^2+by^2+cz^2=0[/mm]
>
>
> => [mm]\pmat{ a & b & c \\ 0 & by-bx & cz-cx \\ 0 & 0 & cz^2-czx + cxy - czy }[/mm]
wenn Du einen entsprechenden Satz hast, dann könntest Du auch mit
der Determinante argumentieren.
> und aus [mm]cz^2-czx+cxy-czy=0[/mm] folgt c=0
Wie folgt das denn? Ich "sehe" das nicht ohne weiteres, daher ist mir das,
selbst wenn es stimmt (und vermutlich tut es das auch), zu knapp.
> => b=a=0 oder z=x=y was ja ausgeschlossen war?
Quatsch. 3 Vektoren $u,v,w$ heißen genau dann linear unabhängig, wenn
$r*u+s*v+t*w=0$ (rechts steht der enstprechende Nullvektor)
gleichwertig mit [mm] $r=s=t=0\,$ [/mm] (die "skalare" Null!) ist.
Die Folgerung [mm] $\Leftarrow$ [/mm] gilt dabei immer: Aus [mm] $r=s=t=0\,$ [/mm] folgt ja
$r*u+s*v+t*w=0$.
(Diese Folgerung gilt unabhängig davon, ob die drei Vektoren linear unabhängig
sind oder linear abhängig!)
Daher kannst Du auch sagen, dass sie genau dann linear unabhängig sind,
wenn aus
[mm] $r*u+s*v+t*w=0\,$
[/mm]
schon [mm] $r=s=t=0\,$ [/mm] folgt.
Das hättest Du in letzter Konsequenz oben dann gezeigt. Ich sehe aber
noch keine gute Begründung, warum
[mm] $cz^2-czx+cxy-czy=0$
[/mm]
auch [mm] $c=0\,$ [/mm] nach sich zieht. Aber auch dann würde ich genauer begründen,
warum danach dann [mm] $b=0\,$ [/mm] gilt (wegen $x [mm] \neq [/mm] y$ und [mm] $b(y-x)=0\,$) [/mm] und warum
dann auch [mm] $a=0\,$ [/mm] folgt.
Gruß,
Marcel
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