Lineare Parabel Gleichungen mit a,b,c ! < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:19 Sa 21.08.2004 | | Autor: | Freddie |
Hallo,
ich habe nun auch in dieses Mathe Forum gefunden.
Also ich habe in 12 Tagen Nachprüfung und brauche deshalb noch ein paar gute Links wo ich online Fragen bekomme + Ergebnis zum kontrollieren.
Also nun kommen wir mal zu meinem ersten Problem:
Lineare Parabel Gleichungen:
Nehmen wir die Punkte:
a = (10 | 0)
b = (12 | 6)
c = (16 | 3)
In einer normalen Parabelgleichung : y = a * [mm] x^2 [/mm] + b *x * c
Der erste Schritt ist doch
100a + 10b + c =0
144a + 12b + c = 6
256a + 16 b + c = 3
richtig?
Also ich habe am Ende raus
c= 118,5
b= 19,225
a= -0,7083
Gibt es gute Möglichkeiten das zu Überprüfen?
Oder sehr einfach möglichkeiten?
> Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:05 Sa 21.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Freddie!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Lineare Parabel Gleichungen:
> Nehmen wir die Punkte:
> a = (10 | 0)
> b = (12 | 6)
> c = (16 | 3)
> In einer normalen Parabelgleichung : y = a * [mm]x^2[/mm] + b *x * c
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , aber mit "+c" am Ende natürlich.
> Der erste Schritt ist doch
> 100a + 10b + c =0
> 144a + 12b + c = 6
> 256a + 16 b + c = 3
>
> richtig?
> Also ich habe am Ende raus
>
> c= 118,5
> b= 19,225
> a= -0,7083
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
> Gibt es gute Möglichkeiten das zu Überprüfen?
> Oder sehr einfach möglichkeiten?
Eine Probe kannst du durchführen, indem die gegebenen Punkt testweise in die gefundene Parabelgleichung einsetzt, also
[mm] f(x)=-0,7083*x^2+19,225*x+118,5
[/mm]
Dort setzt du dann nacheinander für x 10, 12 und 16 ein und schaust, ob 0, 6, 3 (also die entsprechenden vorgegebene y-Werte) rauskommen.
Wie du dann feststellen wirst, sind deine Ergebnisse nicht richtig, poste doch mal ein paar Zwischenschritte bei deiner Rechnung.
Eine gute Kontrollmöglichkeit --die dir aber natürlich in einer Nachprüfung nicht zur Verfügung steht-- ist, deine Ergebnisse mit einem Funktionenplotter zu überprüfen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Meine Ergebnisse stimmen also 
Viele Grüße,
Marc
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:00 So 22.08.2004 | | Autor: | Freddie |
Na gut dann eben die Zwischenschritte aber mit kleineren Daten:
Nehmen wir zb. a (P 1|0), b = (3 | 1) c= (6 |4)
also:
I)
1a + 1b + c = 0
9a + 3b + c = 1
36a + 6b + c = 4
Nun wollen wir c raus schmeißen also die erste Rheie : * - 1 mit den beiden anderen addieren:
1a + 1b + c = 0
8a + 2b + = 1
35a+ 5b + = 4
Nun wollen wir b streichen. Dafür multipliziere ich die erste Rheie * 10, die zweite *5 und die dritte *2.
10a + 10b + 10 c = 0
40a + 10b + =5
70a + 10b + = 8
Und nun die zweite Rheie *-1 und das dann mit der ersten und dritten Rheie addieren also:
-30a + + 10c = -5
40a+ 10b + = 5
30a + + =8
Jetzt fehlt uns im Grunde nur noch das a und da bringe ich das a auf 120!
> Also *4 / 3 / 4 !
-120a + + 40c = -20
120a+ 30b = 15
120a + + = 32
Und nun addieren wir die dritte Rheie mit der ersten und einmal *-1 addieren mit der zweiten Rheie:
+ + 40c = 12
30b = -17
120a = 32
Dann nur noch dividieren:
c = 0,3
b = - 0,56666
a = 0,26666
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Mo 23.08.2004 | | Autor: | Freddie |
So ich habe die erste jetzt nochmal nachgerechnet:
Nun hab ich raus:
c = 2,904
b = 3,5324
a = 0,0242
Können Sie mir das bitte nochmal kurz (anschaulich) erklären wie ich diese Ergebnisse selbst überprüfen kann?
Danke.
PS: Bei der unteren müsste dann:
a = 0,1 / b = 0,33333 / c = - 0,2 rauskommen.
Daraus folgt dann (2. Aufgabe) für die Schnittpunkte mit der 1. Achse:
y= x ^2 + 10/3 x - 2
PQ Formel:
x1 = -1,666
x2 = 2,186
Also befinden sich die Schnittpunkte bei (0,52|0) und (-3,852|0) .
Daraus bilden wir die Mitte um den Schnittpunkt zu berechnen. (bei -1,666)
Das setzen wir in die Parabelformel ein und erhalten für den Scheitelpunkt diese Koordinaten:
( -1,666 | -0,055 )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:08 Di 24.08.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Freddie!
> So ich habe die erste jetzt nochmal nachgerechnet:
>
> Nun hab ich raus:
> c = 2,904
> b = 3,5324
> a = 0,0242
>
> Können Sie mir das bitte nochmal kurz (anschaulich)
> erklären wie ich diese Ergebnisse selbst überprüfen kann?
Klar 
Zunächst einmal: Versuche Dezimalzahlen zu vermeiden. Sie machen dir nur das Leben schwerer, versuche so lange wie möglich mit Brüchen zu rechnen
Du hast also jetzt die konkreten Werte für die drei Koeffizienten a, b und c gefunden; deine Funktionsvorschrift lautet also:
[mm] $f(x)=0{,}0242*x^2+3{,}5324x+2{,}904$
[/mm]
Der Graph dieser Funktion soll deiner Rechnung nach durch diese drei Punkte verlaufen:
A(10 | 0) B(12 | 6) C(16 | 3)
Allgemein gilt: Eine Punkt [mm] $P(x_p|y_p)$ [/mm] liegt auf dem Graphen von f, wenn [mm] f(x_p)=y_p [/mm] gilt (auf diese Weise hast du ja übrigens auch die drei ersten Gleichungen des Gleichungssystems gefunden, das du gelöst hast).
Für die Koordinaten der drei Punkte muss also gelten:
[mm] $0=0{,}0242*10^2+3{,}5324*10+2{,}904$ [/mm] (Punkt A eingesetzt)
[mm] $6=0{,}0242*12^2+3{,}5324*12+2{,}904$ [/mm] (Punkt B eingesetzt)
[mm] $3=0{,}0242*16^2+3{,}5324*16+2{,}904$ [/mm] (Punkt C eingesetzt)
Allerdings sieht man bereits ohne Nachzurechnen an der ersten Gleichung, dass sie nicht erfüllt ist.
Deine Ergebnisse sind also falsch.
> PS: Bei der unteren müsste dann:
> a = 0,1 / b = 0,33333 / c = - 0,2 rauskommen.
Hier machst du auf die gleiche Weise die Probe, und du wirst sehen, dass auch diese Lösung nicht stimmt.
Kopiere doch mal zu dieser Aufgabe deinen zuletzt geposteten Rechenweg, er war doch weitgehend richtig, und schreibe uns, was du da anders gerechnet hast, um auf diese Ergebnisse zu kommen.
> Daraus folgt dann (2. Aufgabe) für die Schnittpunkte mit
> der 1. Achse:
> y= x ^2 + 10/3 x - 2
Hier noch eine Kleinigkeit: Die Funktionsvorschrift lautete doch $y= [mm] 1/10x^2 [/mm] + 1/3 x - 1/5$. Die kannst du nicht einfach mit 10 multiplizieren, das ist doch dann eine ganz andere Funktion (bzw. lautet die Gleichung ja dann $10y=x ^2 + 10/3 x - 2$). Was aber geht, ist, die Nullstellengleichung $0= [mm] 1/10x^2 [/mm] + 1/3 x - 1/5$ mit 10 zu multiplizieren und dann zu erhalten: $0= [mm] x^2 [/mm] + 10/3 x - 2$. Naja, ist wirklich eine Kleinigkeit, aber man kommt durch solche falschen Gleichungen leicht durcheinander (ich spreche aus Erfahrung).
> PQ Formel:
> x1 = -1,666
> x2 = 2,186
Diese Lösungen (von $0= [mm] x^2 [/mm] + 10/3 x - 2$) sind falsch, hier wäre der Rechenweg interessant.
> Also befinden sich die Schnittpunkte bei (0,52|0) und
> (-3,852|0) .
Das verstehe ich jetzt nicht mehr, die Nullstellen wieder (allerdings zu der falschen Gleichung $0= [mm] x^2 [/mm] + 10/3 x - 2$). Was hast du denn mit der PQ-Formel oben ausgerechnet?
> Daraus bilden wir die Mitte um den Schnittpunkt zu
> berechnen. (bei -1,666)
()
> Das setzen wir in die Parabelformel ein und erhalten für
> den Scheitelpunkt diese Koordinaten:
> ( -1,666 | -0,055 )
Der y-Wert stimmt nicht, hier habe ich ungefähr -0,48 raus.
Insgesamt scheinst du noch große Probleme bei den Rechnungen zu haben, obwohl du die das Verfahren an sich verstanden hast (hoffe ich).
Ohne Rechenwege kann ich dir leider nicht weiter helfen, wenn du das aber willst, liefere die Rechenwege einfach nach.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:30 Di 24.08.2004 | | Autor: | Freddie |
Edit : Ich sehe gerade das mein Posting sehr weit auseinander gerutscht ist da das Fenster vom Artikel beenden andere größen hat, sorry!
Nun gut also gehen wir nochmal vom Grundproblem aus:
>Lineare Parabel Gleichungen:
>Nehmen wir die Punkte:
>a = (10 | 0)
>b = (12 | 6)
>c = (16 | 3)
>In einer normalen Parabelgleichung : y = a * $ [mm] x^2 [/mm] $ + b *x * c
100a + 10b + c = 0
144a + 12b + c = 6
256a + 16b + c = 3
Dann Zeile 1 *-1 und mit den beiden anderen addieren:
100a + 10b + c = 0
44a + 2b = 6
156a + 6b = 3
Dann addieren wir zu der ersten Zeile die zweite Zeile *-5 ! Und zur dritten addieren wir die zweite Zeile *- 3 1
-120a + c = -30
22a + b = 3 (<- diese zeile / 2 ) (*64)
-64a = -33 (*22)
-120a +c = -30
1408a + 64b = 192
-1408a = -726
Jetzt können wir die dritte Zeile einfach auf die zweite addieren damit das a wegfällt also:
2. Zeile: 64b = -534
Nun noch die dritte Zeile durch 2:
120a +c = -30
64b = 192
-704a = -363
So jetzt ist es soweit gekürzt abgesehen von b ( B = 3 ) !
Ist das viel zu umständlich, gibt es leichtere Ansätze bis hierhin?
Ich mach das jetzt einfach ganz rabiat * 704 / * 120 =
84480a + 704c = -21120
b = 3
-84480a = -43560
Damit können wir die dritten Zeilen zu der ersten addieren.
704c = -64680
b = 3
-84480a = -43560
Macht dann:
c = -0,01089
b = 3
a = 1,9394
also f(x) = 1,9394 * [mm] x^2 [/mm] + 3 * x - 0,01089
Scheint definitiv wieder falsch zu sein...
Ich rechne auch gerne den Scheitelpunkt und die Schnittstellen mit der x-Achse nur nicht bei so falschen Ergebnissen !
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Di 24.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Freddie, da ist ziemlich am Anfang ein Fehler reingerutscht...
> Nun gut also gehen wir nochmal vom Grundproblem aus:
> >Lineare Parabel Gleichungen:
> >Nehmen wir die Punkte:
> >a = (10 | 0)
> >b = (12 | 6)
> >c = (16 | 3)
> >In einer normalen Parabelgleichung : y = a * [mm]x^2[/mm] + b *x *
> c
> 100a + 10b + c = 0
> 144a + 12b + c = 6
> 256a + 16b + c = 3
>
> Dann Zeile 1 *-1 und mit den beiden anderen addieren:
>
> 100a + 10b + c = 0
> 44a + 2b = 6
> 156a + 6b = 3
Bis hierhin ists in Ordnung, danach kommt ein Rechenfehler rein...
Lass am besten die erste Zeile hier in Ruhe, die brauchst Du nicht mehr, dann hast Du richtigerweise die zweite Zeile dreimal von der dritten Zeile abziehen wollen, dann ergibt sich aber:
III. $(156-3*44)a +(6-3*2)b = 3-3*6 = 24a = -15 [mm] \gdw [/mm] a = [mm] -\bruch{5}{8}$
[/mm]
Das kannst Du dann in die II. oder III. Gleichung einsetzen und bekommst:
[mm] $44*(-\bruch{5}{8}) [/mm] + 2b = 6 = [mm] -\bruch{55}{2} [/mm] + 2b = 6 [mm] \gdw [/mm] b = 3 + [mm] \bruch{55}{4} [/mm] = [mm] \bruch{67}{4}$
[/mm]
Beides kannst Du nun in die I. Gleichung einsetzen:
[mm] $100*(-\bruch{5}{8}) [/mm] + [mm] 10*\bruch{134}{8} [/mm] + c = 0 = [mm] -\bruch{840}{8} [/mm] = c = -105$
Damit lautet Deine Parabelgleichung:
$f(x) = [mm] -\bruch{5}{8}*x^2 [/mm] + [mm] \bruch{67}{4} [/mm] - 105$
Ich hoffe mal, ich habs jetzt nicht verschlimmbessert ^^
btw: Deine Bezeichung ist etwas ungünstig, die Punkte hättest Du zumindest mit Großbuchstaben bezeichnen können, im Moment besteht eigentlich Verwechslungsgefahr mit den Koeffizienten in der Gleichung...
> Ist das viel zu umständlich, gibt es leichtere Ansätze bis
> hierhin?
Jein, es gibt eklige Approximationsansätze, die auf das selbe Ergebnis führen und - wenn man darin Routine hat - vielleicht schneller gehen, aber ich mache das auch immer mit Gleichungssystemen...
> Scheint definitiv wieder falsch zu sein...
> Ich rechne auch gerne den Scheitelpunkt und die
> Schnittstellen mit der x-Achse nur nicht bei so falschen
> Ergebnissen !
Naja, solche Rechenfehler treten leider immer wieder auf, da bleibt man leider nicht vor verschont...
greetz
AT-Colt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 04:43 Di 31.08.2004 | | Autor: | Freddie |
Ich habe noch eine kleine Frage:
Was mache ich bei solchen Gleichungen:
x + y = 1
x + z = 6
z - y = 5
Wenn ich jetzt zb. die dritte Zeile auf die erste Packe habe ich da x + z = 6 und damit würden sich die ersten beiden gegenseitig auslöschen.
Das ist doch nicht richtig oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:34 Di 31.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Freddie!
> Was mache ich bei solchen Gleichungen:
>
> x + y = 1
> x + z = 6
> z - y = 5
>
> Wenn ich jetzt zb. die dritte Zeile auf die erste Packe
> habe ich da x + z = 6 und damit würden sich die ersten
> beiden gegenseitig auslöschen.
> Das ist doch nicht richtig oder?
Doch, das ist sogar genau richtig!
Wenn Du ein Gleichungssystem hast, welches im Endeffekt weniger Gleichungen als Unbekannte hat, sich aber sonst nicht widerspricht, kannst Du keine eindeutige Lösung angeben, vielmehr gibt es unendlich viele Lösungen, dazu kannst Du eine der Variablen frei als Parameter wählen und dann das Gleichungssystem weiter lösen, ggf. musst Du dann sogar noch mehr Parameter festlegen.
In Deinem Fall würde z.B. gelten:
I. $x+y=1$
II. $x+z=6$
III.$y+z=5$
I. + III.:
IV. $x+z=6$
II. - IV.:
$0 = 0$ (Wahre Aussage - man kan einen Parameter frei wählen, setze $x:=t$ und setze in IV. ein)
IV. $t+z=6 [mm] \gdw [/mm] z=6-t$
Einsetzen:
III.$y+6-t=5 [mm] \gdw [/mm] y=-1+t$
Also sind die Lösungstupel Deiner Frage:
$IL = [mm] \{(t,t-1,6-t)|t \in \IR\}$
[/mm]
greetz
AT-Colt
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