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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:17 Mi 06.06.2007 | | Autor: | annklo |
| Aufgabe | In einer Zweiradfabrik werden Mofas und Mountainbikes in den Mengen [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] hergestellt.
Beide Zweiräder werden auf derselben Maschine hergestellt und die Herstellung beider Produkte verbraucht Arbeitszeit. Es stehe 24 Stunden Arbeitszeit und 16 Stunden Maschinenzeit täglich zur Verfügung. Jedes Mofa erfordert je 2 Stunden Arbeits- und Maschinenzeit. Jedes Mountainbike erfordert 2 Stunden Arbeitszeit und 1 Stunde Maschinenzeit. Der Verkauf eines Mofas liefert einen Stückgewinn von 240 EUR, der eines Mountainbikes 160 EUR.
Wie ist zu produzieren, wenn der Gesamtgewinn eines Tages maximiert werden soll. |
Hallo allemiteinander,
ich bin ratlos! Wie rechnet man das aus?
Hilfe wäre sehr lieb-Danke schonmal..
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Hallo annklo!
> In einer Zweiradfabrik werden Mofas und Mountainbikes in
> den Mengen [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] hergestellt.
> Beide Zweiräder werden auf derselben Maschine hergestellt
> und die Herstellung beider Produkte verbraucht Arbeitszeit.
> Es stehe 24 Stunden Arbeitszeit und 16 Stunden
> Maschinenzeit täglich zur Verfügung. Jedes Mofa erfordert
> je 2 Stunden Arbeits- und Maschinenzeit. Jedes Mountainbike
> erfordert 2 Stunden Arbeitszeit und 1 Stunde Maschinenzeit.
> Der Verkauf eines Mofas liefert einen Stückgewinn von 240
> EUR, der eines Mountainbikes 160 EUR.
> Wie ist zu produzieren, wenn der Gesamtgewinn eines Tages
> maximiert werden soll.
> Hallo allemiteinander,
> ich bin ratlos! Wie rechnet man das aus?
> Hilfe wäre sehr lieb-Danke schonmal..
Bei solchen Optimierungsaufgaben musst du zunächst eine Zielfunktion bestimmen. In deinem Falle soll der Tagesgewinn maximiert werden also gilt:
ZF: [mm] G=240x_{1}+160x_{2}; [/mm] G [mm] \rightarrow [/mm] Max!
Diese Zielfunktion ist weitesgehend durch Nebenbedingungen/Restriktionen beeinflusst. In deinem Falle sind dies die Maschinenkapazitäten und die entsprechenden Arbeitszeiten je Produkt. hier gilt:
I: [mm] 2x_{1}+2x_{2}\le24 [/mm] (Beschränkungen durch die verfügbaren 24h Arbeitszeit)
II: [mm] 2x_{1}+1x_{2}\le16 [/mm] (Beschränkungen durch die verfügbaren 16h Maschinenzeit)
III: [mm] x_{1}\ge0; x_{2}\ge0 [/mm] (das sind die sog. Nichtnegativitätsbedingungen, da ja keine -2 Fahrräder o.ä. hergestellt werden können)
Diese Optimierungproblem können man nun rechnerisch (z.B. Simplex-Verfahren) oder auch graphisch (da nur zwei Variablen vorhanden) lösen. Grafisch lös du das wie folgt:
Mach aus den Restriktionen I und II und der ZF einfach Gleichungen und stelle jeweils nach der gleichen Variable um (z.B. [mm] x_{2}). [/mm] Dann gilt:
I': [mm] x_{2}=12-x_{1}
[/mm]
II': [mm] x_{2}=16-2x_{1}
[/mm]
ZF': [mm] 0=240x_{1}+160x_{2} \rightarrow x_{2}=-\bruch{3}{2}x_{1}
[/mm]
Ich habe bei ZF' den Gewinn einfach 0 gesetzt und nach [mm] x_{2} [/mm] umgestellt. Man könnte für G auch 10 oder 100 oder 1000 einsetzen, allerdings lässt sich die Zielfunktion dann schlecht einzeichnen.
Jetzt zeichnest du dir ein Koordinatensystem mit [mm] x_{1} [/mm] auf der Abszisse und [mm] x_{2} [/mm] auf der Ordinate. Danach zeichnest du dir die Restriktionen I' und II' und die Zielfunktion ZF' in das Koordinatensystem ein. Wenn du alles richtig gemacht hast, dann sollten die Restriktionen I' und II' zusammen mit den beiden Koordinatenachsen einen Bereich umgrenzen. Das ist dein zulässiger Lösungsbereich. Jetzt verschiedbst du die eingezeichnete Zielfunktion ZF' parallel solange nach rechts, bis sie den Lösungsbereich (im Idealfall) nur noch an einer Stelle berührt. Der Schnittpunkt deiner Zielfunktion ZF' mit dem zulässigen Lösungsbereich gibt deine optimale Produktionsmenge an. Die Kombinationen von [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] kannst du an den Achsen ablesen.
Bin bisschen unter Zeitdruck, deswegen hab ich dir den grafischen Lösungsweg mal nur verbal angegeben. Hätt ich mehr Zeit gehabt würd ich dir noch ne Grafik anfügen, die das Ganze noch ein bisschen besser veranschaulichen würde. Vielleicht "erbarmt" sich ein anderes Forenmitglied und übernimmt diesen Part.
Gruß,
Tommy
Edit:
Wenn du alles richtig gemacht hast, dann sollte folgendes Bild entstehehn
[Dateianhang nicht öffentlich]
Es ist:
- schwarze Linien = Restriktionen
- rote Linie = Zielfunktion mit dem Zielfunktionswert =0
- gestrichelte rote Linie = verschobene Zielfunktion, welche das Optimum ermittelt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Mi 06.06.2007 | | Autor: | annklo |
Hallo,
> Diese Optimierungproblem können man nun rechnerisch (z.B.
> Simplex-Verfahren) oder auch graphisch (da nur zwei
> Variablen vorhanden) lösen. Grafisch lös du das wie folgt:
> Mach aus den Restriktionen I und II und der ZF einfach
> Gleichungen und stelle jeweils nach der gleichen Variable
> um (z.B. [mm]x_{2}).[/mm] Dann gilt:
>
> I': [mm]x_{2}=12-x_{1}[/mm]
> II': [mm]x_{2}=16-2x_{1}[/mm]
> ZF': [mm]0=240x_{1}+160x_{2} \rightarrow x_{2}=-\bruch{3}{2}x_{1}[/mm]
>
> Ich habe bei ZF' den Gewinn einfach 0 gesetzt und nach
> [mm]x_{2}[/mm] umgestellt. Man könnte für G auch 10 oder 100 oder
> 1000 einsetzen, allerdings lässt sich die Zielfunktion dann
> schlecht einzeichnen.
>
> Jetzt zeichnest du dir ein Koordinatensystem mit [mm]x_{1}[/mm] auf
> der Abszisse und [mm]x_{2}[/mm] auf der Ordinate.
Also [mm] x_{2}= [/mm] y. Soweit hab ich das eingezeichent
> Danach zeichnest du dir die Restriktionen I' und II' und die Zielfunktion
> ZF' in das Koordinatensystem ein. Wenn du alles richtig
> gemacht hast, dann sollten die Restriktionen I' und II'
> zusammen mit den beiden Koordinatenachsen einen Bereich
> umgrenzen. Das ist dein zulässiger Lösungsbereich. Jetzt
> verschiedbst du die eingezeichnete Zielfunktion ZF'
> parallel solange nach rechts, bis sie den Lösungsbereich
> (im Idealfall) nur noch an einer Stelle berührt.
So,hab hier hängt es, wie soll ich ZF' parrallelverschieben und welcher Bereich ist gemeint? wenn ich wüsste,wie man Grafiken hier einfügt,hätte ich das gerne gemacht.
> Der Schnittpunkt deiner Zielfunktion ZF' mit dem zulässigen
> Lösungsbereich gibt deine optimale Produktionsmenge an. Die
> Kombinationen von [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] kannst du an den Achsen
> ablesen.
Weiß überhaupt nicht,was ich ablesen und erkennen soll, danke für die Hilfe..
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Mi 06.06.2007 | | Autor: | annklo |
 ich glaube ich hab es doch.
wenn 4 Mofas und 8 Mountainbikes richtig ist
Vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:43 Mi 06.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Vier Mofas, 8 Bikes ist richtig :)
Gruß,
dormant
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