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| Aufgabe | Sei V die lineare Hülle von Vektoren
(1,2,3), (4,5,6), (7,8,9)
in [mm] R^{3}. [/mm] Finde ein System linearer Gleichungen, dessen Lösungsmeng genau V ist. |
Hallo
Ich habe einwenig Probleme mit der oben genannten Aufgabenstellung.
1 Schritt:
a*1+b*4+7*c=0
a*2+b*5+8*c=0
a*3+b*6+9*c=0
Dann ist a=1, b=-2 und c=1
Und wie zeige ich nun, das diese in V sind?
Liebe Grüsse
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> Sei V die lineare Hülle von Vektoren
> (1,2,3), (4,5,6), (7,8,9)
> in [mm]R^{3}.[/mm] Finde ein System linearer Gleichungen, dessen
> Lösungsmeng genau V ist.
> Hallo
>
> Ich habe einwenig Probleme mit der oben genannten
> Aufgabenstellung.
> 1 Schritt:
> a*1+b*4+7*c=0
> a*2+b*5+8*c=0
> a*3+b*6+9*c=0
> Dann ist a=1, b=-2 und c=1
Hallo,
das ist eine Lösung dieses Gleichungssystems, aber mitnichten der komplette Lösungsraum.
Die Lösungsmenge ist [mm] <\vektor{1\\-2\\1}>. [/mm] (Die spitzen Klammern stehen für lineare Hülle.)
> Und wie zeige ich nun, das diese in V sind?
Ob [mm] \vektor{1\\-2\\1} [/mm] in V ist, siehst Du daran, ob [mm] \vektor{1\\-2\\1}=r(1,2,3)^{T}+(4,5,6)^{T}+(7,8,9)^{T} [/mm] eine Lösung hat. (Dies ist nicht der Fall.)
Die Lösungsvektoren sollen ja auch nicht nur in V sein, sondern die beiden Räume, der Lösungsraum und V, sollen gleich sein.
Wenn Du jetzt mal die Dimension des von den vorgegebenen Vektoren aufgespannten Raumes mit der des Lösungsraumes Deiner Gleichung vergleichst, wirst Du auch feststellen, daß die beiden Räume mitnichten gleich sind. ==> So geht's nicht.
Wie aber geht es?
Bestimme erstmal eine Basis von V.
Und dann suche ein homogenes Gleichungssystem, dessen Kern auch von dieser Basis aufgespannt wird.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela
Wie bestimme ich denn eine Basis von V?
Wir hatten das in unserer Vorlesung noch nicht.
Gruss
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> Wie bestimme ich denn eine Basis von V?
> Wir hatten das in unserer Vorlesung noch nicht.
Hallo,
Deine drei Vektoren sind ja ein Erzeugendensystem von v.
Pick nun eine möglichst große linear unabhängig Teilmenge heraus.
Gruß v. Angela
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