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Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage zur linearen Homogenität bei Optionen.
Dass eine gewöhnliche europäische Option linear homogen in S und T ist, ist mir klar, weil sich in d1 und d2 das Lambda im Zähler und Nenner wegheben da [mm] $\ln(\lambda S/\lambda K)=\ln [/mm] (S/K)$ gilt.
Jetzt hab ich aber nicht [mm] $\ln(S/K)$, [/mm] sondern [mm] $\ln(S/S_{T_1})$ [/mm] in meinen d's, wobei [mm] $T_1$ [/mm] ein beliebiger Zeitraum nach heute (t=0) ist.
Meine Frage: Wenn wir von S auf [mm] $\lambda [/mm] S$ übergehen, steigt dann auch jeder zukünftige Aktienkurs [mm] $S_{T_1}$ [/mm] um das lambda-fache??
Wir hatten hier ja mal mit der Brownschen Bewegung gezeigt, dass
[mm] $$\frac{\partial S_T}{\partial S}=\frac{S_T}{S}$$ [/mm] gelten könnte (sicher bin ich mir da immer noch nicht).
Demnach wäre es ja falsch, da das ja nicht =1 sein muss.
Es wär nett, wenn mir jemand helfen könnte.
Katrin.
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Hallo nochmal!
Ich hab mir das jetzt nochmal angeguckt und bin inzwischen doch davon überzeugt, dass es stimmen könnte mit der lin. Hom.
Es müsste nur noch jemand absegnen! 
Und zwar: Falls [mm] $\frac{\partial S_T}{\partial S}=\frac{S_T}{S}$ [/mm] nach der Brownschen Bewegung (glaub ich jetzt!), so gilt bei Übergang von S auf [mm] $\lambda$S:
[/mm]
[mm] $$S_T \mapsto \lambda [/mm] S [mm] \cdot \frac{S_T}{S}= \lambda S_T.$$
[/mm]
Das hieße: wenn S um den Faktor lambda erhöht wird, wird der zukünftige Aktienkurs um den gleichen Faktor erhöht!
Richtig???
10 min später:
Ich glaub, ich war doch etwas zu voreilig! Schade!
Die Ableitung heißt ja: wenn ich S um x Prozent erhöhe, erhöht sich [mm] $S_T$ [/mm] um $x [mm] \cdot \frac{S_T}{S}$ [/mm] Einheiten. Ohne S. Mist!
D.h. wir erhöhen hier S auf [mm] $\lambda [/mm] S$....
Muss das S dazu oder nicht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:12 Mi 19.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Katrin!
Ich verstehe dein Problem nicht ganz. Hier folgt doch aus
[mm] $S_T [/mm] = [mm] S_0 \cdot e^{(\ldots)}$
[/mm]
sofort, dass [mm] $S_T$ [/mm] um das $k$-Fache steigt, wenn [mm] $S_0$ [/mm] um das $k$-fache steigt. Dies liegt daran, dass der Faktor [mm] $e^{(\ldots)}$ [/mm] nicht mehr von [mm] $S_0$ [/mm] abhängt. [mm] $S_T$ [/mm] ist eben eine lineare Funktion von [mm] $S_0$.
[/mm]
Und daher gilt ja auch [mm] $\frac{\partial S_T}{\partial S_0} [/mm] = [mm] \frac{S_T}{S_0}$.
[/mm]
Beispiel aus der Schulmathematik:
$y= 5x [mm] \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial y}{\partial x} [/mm] = 5 = [mm] \frac{y}{x}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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Danke!!!
Ich weiß auch nicht, was ich nicht verstanden hab. Wenn du das erklärst, ist alles immer so klar! Ok, doch, jetzt versteh ich meinen Denkfehler wieder, aber der ist so peinlich, dass ich ihn lieber nicht hier hinschreib...
Vielen, vielen Dank!
Katrin.
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