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Lineare Funktionale: Kurze Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:24 Mo 09.01.2006
Autor: steelscout

Aufgabe
U.a. : Ist F( [mm] (x_{n}) [/mm] ) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} x_{n} [/mm] ein lineares Funktional?
[mm] x_{n} \in l^{2}(\IN) [/mm]

Jetzt fängt es schon damit an, dass F ja eine Abb. vom [mm] l^{2}(\IN) [/mm] nach [mm] \IC [/mm] sein soll.
Aber daraus dass [mm] x_{n} \in l^{2}(\IN), [/mm] also [mm] \summe_{n=1}^{\infty} |x_{n}|^{2} [/mm] < [mm] \infty [/mm] muss doch nicht folgen, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty} x_{n} [/mm] konvergiert, oder?
Bedeutet das schon, dass F kein lin. Funktional ist?
Und wenn es an die Stetigkeit geht und ich eine Folge [mm] x_{mn} [/mm] mit [mm] \limes_{m\rightarrow\infty} x_{mn} [/mm] = [mm] x_{n} [/mm] ansetze, läuft es ja auf die Frage hinaus, ob ich limes und Summe vertauschen kann, oder?

Und wie sieht das ganze aus, wenn F( [mm] (x_{n}) [/mm] ) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} x_{n}*z^{n} [/mm] mit |z|<1 ?

Wäre nett, wenn das jemand näher erläutern könnte.
mfg steele

        
Bezug
Lineare Funktionale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:33 Mo 09.01.2006
Autor: Stefan

Hallo!

Du hast vollkommen Recht; Dein erstes "Funktional" ist gar nicht wohldefiniert, etwa für [mm] $x_n= \frac{1}{n}$. [/mm]

Zur zweiten Frage:

Aus Cauchy-Schwarz folgt ja unmittelbar die Stetigkeit von $F$. Hier hat man also ein stetiges Funktional von [mm] $l^2$ [/mm] nach [mm] $\IC$. [/mm]

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                
Bezug
Lineare Funktionale: Nachfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:46 Mo 09.01.2006
Autor: steelscout

Ah alles klar, Cauchy - Schwarz hat ich mal wieder vergessen ;)

Edit: Der Rest hat sich auch erledigt. Thx.
Frage kann als erledigt markiert werden.

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