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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Do 21.10.2010 | | Autor: | bjoern.g |
| Aufgabe | y'' + 2y' + 2y = 5sin(x)
y(0) = -4
y'(0) = 4 |
Hallo ich habe Versucht die Gleichung inkl. Anfangswertproblem zu lösen:
Folgendes:
Homogone Lösung habe ich erstellt:
NS Char.Polynom sind komplex --> [mm] \lambda_{1/2} [/mm] = -1 [mm] \pm [/mm] j
yn = C1 * [mm] e^{-x} [/mm] * cos(x) - C2 * [mm] e^{-x} [/mm] * sin(x)
Anschließend die Vorfaktoren für cos und sin berechnet
y'' + 2y' + 2y = cos(x) [2B+A] + sin(x) [-2A+B]
--> 2B+A = 0 und -2A+B = 5
Somit gilt : B = 1 und A = -2
Nun das AWP:
y(0) = C1 * [mm] e^{-0} [/mm] * cos(0) - C2 * [mm] e^{-0} [/mm] * sin(0) = C1 * [mm] e^{-0} [/mm] * cos(0)
--> y(0) = 4 = C1
y(0)' = C1 [mm] [-e^{-0} [/mm] *cos(x) - [mm] e^{-0} [/mm] *sin(x)] + C2 [ [mm] e^{-0} [/mm] *sin(x) -
[mm] e^{-0} [/mm] *cos(x)]
--> y(0) = -C1-C2 = 4
--> C2 = -8
--> somit müsste die Lösung sein y(x) = [mm] 8e^{-x}*(cosx+sinx)
[/mm]
Habe allerdings die Lösung und dort kommt heraus:
y(x) = [mm] (e^{-x} [/mm] +1)(sinx -2cosx)
Jetzt ist die Frage : Wo ist der Fehler???
Habe das leider schon länger nicht mehr gemacht und benötige Hilfe :(
Vielen Dank im Voraus!
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> y'' + 2y' + 2y = 5sin(x)
>
> y(0) = -4
>
> y'(0) = 4
> Hallo ich habe Versucht die Gleichung inkl.
> Anfangswertproblem zu lösen:
>
> Folgendes:
>
> Homogone Lösung habe ich erstellt:
>
> NS Char.Polynom sind komplex --> [mm]\lambda_{1/2}[/mm] = -1 [mm]\pm[/mm] j
>
> yn = C1 * [mm]e^{-x}[/mm] * cos(x) - C2 * [mm]e^{-x}[/mm] * sin(x)
das sieht gut aus
>
> Anschließend die Vorfaktoren für cos und sin berechnet
>
> y'' + 2y' + 2y = cos(x) [2B+A] + sin(x) [-2A+B]
>
>
> --> 2B+A = 0 und -2A+B = 5
>
> Somit gilt : B = 1 und A = -2
was hast du da gerechnet?
ich habe als vorfaktor für den sin: 1 und für den cosinus: -2
>
> Nun das AWP:
>
> y(0) = C1 * [mm]e^{-0}[/mm] * cos(0) - C2 * [mm]e^{-0}[/mm] * sin(0) = C1 *
> [mm]e^{-0}[/mm] * cos(0)
das awp musst du für die summe aus homogener und spezieller lösung machen!
>
> --> y(0) = 4 = C1
>
> y(0)' = C1 [mm][-e^{-0}[/mm] *cos(x) - [mm]e^{-0}[/mm] *sin(x)] + C2 [ [mm]e^{-0}[/mm]
> *sin(x) -
> [mm]e^{-0}[/mm] *cos(x)]
>
> --> y(0) = -C1-C2 = 4
> --> C2 = -8
>
> --> somit müsste die Lösung sein y(x) =
> [mm]8e^{-x}*(cosx+sinx)[/mm]
>
> Habe allerdings die Lösung und dort kommt heraus:
>
> y(x) = [mm](e^{-x}[/mm] +1)(sinx -2cosx)
>
> Jetzt ist die Frage : Wo ist der Fehler???
>
> Habe das leider schon länger nicht mehr gemacht und
> benötige Hilfe :(
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> Vielen Dank im Voraus!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 Do 21.10.2010 | | Autor: | bjoern.g |
Ja das ist Richtig
Vorfaktor für sin ist 1 und für den cos -2 !
Sorry wenn das nicht verständlich war.
Könntest du das mit dem AWP nochmal verdeutlichen, weis nicht wie ich da jetzt vorgehen soll?
Danke!
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> Ja das ist Richtig
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> Vorfaktor für sin ist 1 und für den cos -2 !
>
> Sorry wenn das nicht verständlich war.
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> Könntest du das mit dem AWP nochmal verdeutlichen, weis
> nicht wie ich da jetzt vorgehen soll?
>
> Danke!
die homogene lösung hattest du ja richtig:
[mm] y_h={e}^{-x}\\left( c_1,sin\left( x\right) +c_2cos\left( x\right) \right)
[/mm]
die partikuläre lösung war bei dir:
[mm] y_p=sin\left( x\right) -2\,cos\left( x\right)
[/mm]
also ist deine "gesamte" lösung:
[mm] y=y_h+y_p
[/mm]
und damit jetzt das AWP lösen
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Do 21.10.2010 | | Autor: | bjoern.g |
Achso war das , ok ich probiers morgen mal falls noch eine Frage ist, Poste ich nochmal
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