Lineare DGL, zweite Lösung? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für die lineare DGL [mm]x^2(1-x)y'' + 2x(2-x)y' + 2(1+x)y = 0[/mm] mit [mm] x > 1[/mm] ist als bekannte Lösung die Funktion [mm]f1(x) = x^{-2}[/mm] gegeben. Finden sie eine von f1 linear unabhängige Lösung f2. |
Hallo,
ich bin etwas ratlos bei oben genannter Aufgabe. In der Uni hieß es, man solle bei sowas den Ansatz f2(x) = u(x)f1(x) in die DGL einsetzen und soweit vereinfachen, dass man dann u(x) herausbekommen kann und somit die zweite Lösung konstruieren. Soweit, so gut, aber wenn ich diesen Ansatz in die DGL einsetze, kann ich beileibe nichts vernünftiges vereinfachen (wegen der Koeffizienten). Gibts da irgendeinen Trick oder muss einem bei diesen Koeffizienten gleich irgendwas ins Auge springen, was dahintersteckt? Wie komme ich weiter?
Beste Grüße
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Hallo micha_goes_ti,
> Für die lineare DGL [mm]x^2(1-x)y'' + 2x(2-x)y' + 2(1+x)y = 0[/mm]
Die DGL muss doch so lauten:
[mm]x^2(1-x)y'' + 2x(2-x)y' + 2(1\red{-}x)y = 0[/mm]
Dann löst [mm]f_{1}\left(x\right)=x^{-2}[/mm] die DGL.
> mit [mm]x > 1[/mm] ist als bekannte Lösung die Funktion [mm]f1(x) = x^{-2}[/mm]
> gegeben. Finden sie eine von f1 linear unabhängige Lösung
> f2.
> Hallo,
> ich bin etwas ratlos bei oben genannter Aufgabe. In der
> Uni hieß es, man solle bei sowas den Ansatz f2(x) =
> u(x)f1(x) in die DGL einsetzen und soweit vereinfachen,
> dass man dann u(x) herausbekommen kann und somit die zweite
> Lösung konstruieren. Soweit, so gut, aber wenn ich diesen
> Ansatz in die DGL einsetze, kann ich beileibe nichts
> vernünftiges vereinfachen (wegen der Koeffizienten). Gibts
> da irgendeinen Trick oder muss einem bei diesen
> Koeffizienten gleich irgendwas ins Auge springen, was
> dahintersteckt? Wie komme ich weiter?
Poste doch Deine bisherigen Rechenschritte.
>
> Beste Grüße
Gruss
MathePower
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Oha, das ist mir garnicht aufgefallen, da ist wohl ein Fehler auf dem Aufgabenblatt (super -.- ).
Okay, ich hätte wie gesagt den Ansatz [mm]f(x) = u(x)y(x)[/mm] eingesetzt, wobei [mm]y(x)[/mm] die gegebene Lösung ist. Damit komme ich dann auf (wenn man der Lesbarkeit halber mal überall die Abhängigkeit von x rauslässt):
[mm]x^2 (u''y + 2u'y' + uy'') + \bruch{2(2x-x^2)}{1-x} (u'y + uy') + 2uy = 0[/mm]
Das ist faktisch erstmal nur eingesetzt (und ein bisschen umgeformt), ich weiß. Aber weiter komme ich auch schon nicht. Wo kann ich denn dort jetzt irgendwas vereinfachen?
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Hallo michae_goes_ti,
> Oha, das ist mir garnicht aufgefallen, da ist wohl ein
> Fehler auf dem Aufgabenblatt (super -.- ).
> Okay, ich hätte wie gesagt den Ansatz [mm]f(x) = u(x)y(x)[/mm]
> eingesetzt, wobei [mm]y(x)[/mm] die gegebene Lösung ist. Damit
> komme ich dann auf (wenn man der Lesbarkeit halber mal
> überall die Abhängigkeit von x rauslässt):
>
> [mm]x^2 (u''y + 2u'y' + uy'') + \bruch{2(2x-x^2)}{1-x} (u'y + uy') + 2uy = 0[/mm]
>
> Das ist faktisch erstmal nur eingesetzt (und ein bisschen
> umgeformt), ich weiß. Aber weiter komme ich auch schon
> nicht. Wo kann ich denn dort jetzt irgendwas vereinfachen?
Nach Voraussetzung gilt:
[mm]x^{2}*y''+\bruch{2(2x-x^2)}{1-x} y' + 2y = 0[/mm]
Also auch für [mm]u \not= 0[/mm]:
[mm]x^{2}*y''*u+\bruch{2(2x-x^2)}{1-x} y'*u+ 2y*u = 0[/mm]
Damit ergibt sich:
[mm]x^2 (u''y + 2u'y') + \bruch{2(2x-x^2)}{1-x} u'y = 0[/mm]
Daraus kannst Du jetzt u bestimmen.
Gruss
MathePower
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Ich glaube, ich verstehe deinen letzten Schritt nicht. Wie kommst du auf diese Gleichung?
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Hallo micha_goes_ti,
> Ich glaube, ich verstehe deinen letzten Schritt nicht. Wie
> kommst du auf diese Gleichung?
Was verstehst Du daran nicht?
Ich hab doch nur die Bedingung verwendet, daß [mm]y=x^{-2}[/mm] die DGL löst.
Insofern ist
[mm]x^{2}\cdot{}y''+\bruch{2(2x-x^2)}{1-x} y' + 2y = 0[/mm]
Damit gilt auch für [mm]u \not= 0[/mm]
[mm]x^{2}\cdot{}y''\cdot{}u+\bruch{2(2x-x^2)}{1-x} y'\cdot{}u+ 2y\cdot{}u = 0[/mm]
Daraus ergibt sich dann die DGL
[mm]x^2 (u''y + 2u'y') + \bruch{2(2x-x^2)}{1-x} u'y = 0 [/mm]
Gruss
MathePower
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Also,
[mm]x^{2}\cdot{}y''+\bruch{2(2x-x^2)}{1-x} y' + 2y = 0[/mm]
Das ist ja nur die DGL ganz am Anfang, wie sie eben dasteht. Soweit klar.
[mm]x^{2}\cdot{}y''\cdot{}u+\bruch{2(2x-x^2)}{1-x} y'\cdot{}u+ 2y\cdot{}u = 0[/mm]
Hier hast du wohl die gesamte Gleichung mit u multipliziert. Soweit komme ich auch noch mit, auch, wenn mir nicht klar ist, wie du darauf gekommen bist, das zu tun.
Aber hier:
[mm]x^2 (u''y + 2u'y') + \bruch{2(2x-x^2)}{1-x} u'y = 0[/mm]
wirds jetzt kritisch. Wie kommst du aus dem vorhergehenden zu diesem Schritt? Wo kommen plötzlich die Ableitungen von u her, was hast du da gemacht? Wieso fehlt der dritte Summand? Ich kann dir hier nicht folgen.
Sorry, stehe wohl gerade echt auf dem Schlauch.
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Hallo micha_goes_ti,
> Also,
>
> [mm]x^{2}\cdot{}y''+\bruch{2(2x-x^2)}{1-x} y' + 2y = 0[/mm]
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> Das ist ja nur die DGL ganz am Anfang, wie sie eben
> dasteht. Soweit klar.
>
> [mm]x^{2}\cdot{}y''\cdot{}u+\bruch{2(2x-x^2)}{1-x} y'\cdot{}u+ 2y\cdot{}u = 0[/mm]
>
> Hier hast du wohl die gesamte Gleichung mit u
> multipliziert. Soweit komme ich auch noch mit, auch, wenn
> mir nicht klar ist, wie du darauf gekommen bist, das zu
> tun.
>
> Aber hier:
>
> [mm]x^2 (u''y + 2u'y') + \bruch{2(2x-x^2)}{1-x} u'y = 0[/mm]
>
> wirds jetzt kritisch. Wie kommst du aus dem vorhergehenden
> zu diesem Schritt? Wo kommen plötzlich die Ableitungen von
> u her, was hast du da gemacht? Wieso fehlt der dritte
> Summand? Ich kann dir hier nicht folgen.
>
Du warst es selbst, der diese Gleichung gepostet hat:
[mm] x^2 (u''y + 2u'y' + uy'') + \bruch{2(2x-x^2)}{1-x} (u'y + uy') + 2uy = 0[/mm]
[mm]\gdw x^2 (u''y + 2u'y' ) + \bruch{2(2x-x^2)}{1-x} (u'y) + \blue{x^2 y''*u + \bruch{2(2x-x^2)}{1-x} y'*u+2*y*u} = 0[/mm]
Da y eine Lösung der DGL ist, gilt
[mm]x^2 y''*u + \bruch{2(2x-x^2)}{1-x} y'*u+2*y*u=0[/mm]
Somit ergibt sich die neue Gleichung:
[mm]x^2 (u''y + 2u'y') + \bruch{2(2x-x^2)}{1-x} u'y = 0[/mm]
> Sorry, stehe wohl gerade echt auf dem Schlauch.
Gruss
MathePower
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Ah, fantastisch! Das war mir wirklich nicht klar, danke für die Erläuterung. Aber so ganz geschafft hast du mich noch nicht ^^ Weil sich das jetzt ziemlich von dem Ansatz unterscheidet, den wir gezeigt bekommen haben, bin ich nicht so sicher, was ich damit jetzt machen muss.
In unseren Beispielen stand am Ende immer etwas vergleichsweise Einfaches da, wie [mm]u'' = x^2[/mm] oder etwas ähnliches, das man durch Integration einfach in die Zielfunktion überführen konnte. Aber wie mache ich denn hier weiter? Ich wüsste nicht genau, wie ich daraus jetzt u(x) extrahieren kann.
Vielen Dank für deine Geduld.
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Hallo micha_goes_ti,
> Ah, fantastisch! Das war mir wirklich nicht klar, danke
> für die Erläuterung. Aber so ganz geschafft hast du mich
> noch nicht ^^ Weil sich das jetzt ziemlich von dem Ansatz
> unterscheidet, den wir gezeigt bekommen haben, bin ich
> nicht so sicher, was ich damit jetzt machen muss.
> In unseren Beispielen stand am Ende immer etwas
> vergleichsweise Einfaches da, wie [mm]u'' = x^2[/mm] oder etwas
> ähnliches, das man durch Integration einfach in die
> Zielfunktion überführen konnte. Aber wie mache ich denn
> hier weiter? Ich wüsste nicht genau, wie ich daraus jetzt
> u(x) extrahieren kann.
Bringe die neue DGL auf die Form
[mm]a\left(x\right)*u''+b\left(x\right)*u'=0[/mm]
Substituiere dann [mm]v=u'[/mm].
Dann erhältst Du eine lineare DGL 1. Ordnung:
[mm]a\left(x\right)*v'+b\left(x\right)*v=0[/mm]
Diese kannst Du durch Trennung der Veränderlichen lösen.
Die Lösung u erhältst Du, wenn Du die Lösung v
der vorhergehenen DGL nochmals integrierst.
>
> Vielen Dank für deine Geduld.
Gruss
MathePower
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