Lineare DGL 1.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Betrachten Sie die folgende DGL 1. Ordnung
(1+x²)y´+2xy=5
a)Lösen Sie zunächst die zugehörige homogene DGL.
b)Ermitteln Sie mit dem Ergebnis aus a) die allgemeine Lösung der DGL |
Hi,
also ich bin absoluter Anfänger auf dem Gebiet hatte letzte Woche erst meine erste Vorlesung zu dem Thema.
Also bei a) wäre doch die homogene DGL
(1+x²)y´+2xy=0 oder?
Ich bekomme für die homogene Lösung:
[mm] y_{h}=exp(-1-x²) [/mm] Stimmt das?
So um die gesamte Lösung zu erhalten muss ich ja noch die partikuläre Lösung bestimmen.
Mein Ansatz:
[mm] y_{p}=exp(-1-x²) [/mm] * [mm] \integral_{}^{}{\bruch{5 * exp(-1-x²)}{(1+x²)} dx}
[/mm]
Das stimmt doch nicht oder. Also irgendwie komme ich nicht weiter.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Di 21.10.2008 | | Autor: | alexwie |
Hallo Christian!
Richtig! zuerst suchst du die Lösung der Homogenen gleichung. wenn du gegeben hast $y'(x) + f(x)y(x)=0$ dann ist $y(x) [mm] =C*e^{-F(x)}$ [/mm] (F ist Stammfunktion von f,C eine beliebige Konstante) deine Lösung.(klar?) also in deinem Fall also $f(x) = [mm] \bruch{2x}{1+x^2}$ [/mm] aber dessen stammfunktion ist nicht [mm] 1+x^2 [/mm] sondern [mm] ln(1+x^2).
[/mm]
Für die partikuläre gleichung funktioniert folgender ansatz immer:
Setze [mm] y(x)=K(x)*e^{-F(x)}. [/mm] Wenn du das dann einsetzt (also differenzierst) fällt was weg und K(x) lässt sich durch Integration bestimmen. Dieser Ansatz heißt außerdem Variation der Konstanten
Lg Alex
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Ah danke ich hatte irgendwie das ln verloren.
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Ich habe doch noch eine Frage.
Ich komme auf exp(-ln(1+x²) irgendwie hab ich ein Problem mit dem Minus. Wie bekomme ich das weg, damit sich das e mit ln aufhebt. Mir fällt grad kein passender Trick ein.
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Hallo Christian,
> Ich habe doch noch eine Frage.
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> Ich komme auf exp(-ln(1+x²) irgendwie hab ich ein Problem
> mit dem Minus. Wie bekomme ich das weg, damit sich das e
> mit ln aufhebt. Mir fällt grad kein passender Trick ein.
Ohne die Korrektheit des Ergebnisses geprüft zu haben und nur um deine Frage zu beantworten, fällt mir spontan der Begriff Potenzgesetze ein:
[mm] $e^{-z}=\frac{1}{e^{z}}$, [/mm] also [mm] $e^{-\ln(1+x^2)}=\frac{1}{e^{\ln(1+x^2)}}=\frac{1}{1+x^2}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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