Lineare Algebra im Hilbertraum < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Mo 24.10.2011 | | Autor: | volk |
Hallo,
ich soll das Resultat der Wirkung eines Operators durch Anwendung auf eine beliebige hinreichend stetige Funktion [mm] \Phi(x) [/mm] berechnen.
[mm] (\bruch{d}{dx}+x)^2
[/mm]
Was ein Hilbertraum ist weiß ich, denke ich. Ein Vektorraum über den reellen oder komplexen Zahlen mit Skalarprodukt.
Mir ist jetzt nicht bewusst, was ich hier rechnen soll...
Eigentlich wäre es ja
[mm] (\bruch{d}{dx}+x)^2\Phi(x)=(\bruch{d^2}{dx^2}+2*\bruch{d}{dx}x+x^2)\Phi(x)=\bruch{d^2}{dx^2}\Phi(x)+2*\Phi(x)+x^2*\Phi(x)
[/mm]
Wäre das so richtig?
Gruß,
volk
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 24.10.2011 | | Autor: | volk |
Hallo,
kennst sonst jemand einen guten Link?
Ich habe jetzt sämtliche Internetseiten durchsucht und nichts passendes gefunden, was wohl daran liegt, dass ich nicht weiß, wonach ich suchen soll...
gruß
volk
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Hallo volk!
> Hallo,
> ich soll das Resultat der Wirkung eines Operators durch
> Anwendung auf eine beliebige hinreichend stetige Funktion
> [mm]\Phi(x)[/mm] berechnen.
>
> [mm](\bruch{d}{dx}+x)^2[/mm]
>
> Was ein Hilbertraum ist weiß ich, denke ich. Ein
> Vektorraum über den reellen oder komplexen Zahlen mit
> Skalarprodukt.
Das ist ein Prähilbertraum. Ein Hilbertraum ist ein vollständiger Prähilbertraum.
>
> Mir ist jetzt nicht bewusst, was ich hier rechnen soll...
>
> Eigentlich wäre es ja
>
> [mm](\bruch{d}{dx}+x)^2\Phi(x)=(\bruch{d^2}{dx^2}+2*\bruch{d}{dx}x+x^2)\Phi(x)=\bruch{d^2}{dx^2}\Phi(x)+2*\Phi(x)+x^2*\Phi(x)[/mm]
>
> Wäre das so richtig?
>
Nein. Außerdem solltest Du bei der Anwendung der Produktregel aufpassen!
Der Operator [mm] $(\bruch{d}{dx}+x)^2 [/mm] $ ist definiert durch [mm] $(\bruch{d}{dx}+x)\circ (\bruch{d}{dx}+x)$ [/mm] bzw. durch [mm] $(\bruch{d}{dx}+x)((\bruch{d}{dx}+x)(\Phi(x)))$
[/mm]
Wenn Du das ausrechnest, wirst Du den Unterschied erkennen.
> Gruß,
> volk
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:56 Mo 24.10.2011 | | Autor: | volk |
Hallo mathfunnel,
> Der Operator [mm](\bruch{d}{dx}+x)^2[/mm] ist definiert durch
> [mm](\bruch{d}{dx}+x)\circ (\bruch{d}{dx}+x)[/mm] bzw. durch
> [mm](\bruch{d}{dx}+x)((\bruch{d}{dx}+x)(\Phi(x)))[/mm]
>
> Wenn Du das ausrechnest, wirst Du den Unterschied
> erkennen.
[mm] (\bruch{d}{dx}+x)((\bruch{d}{dx}+x)(\Phi(x)))=
[/mm]
[mm] (\bruch{d}{dx}+x)(\bruch{d}{dx}\Phi(x)+x*\Phi(x))=
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dx}(\bruch{d}{dx}\Phi(x))+\bruch{d}{dx}(x*\Phi(x))+x*\bruch{d}{dx}\Phi(x)+x^2*\Phi(x)=
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dx}(\bruch{d}{dx}\Phi(x))+\Phi(x)*\bruch{d}{dx}x+x*\bruch{d}{dx}\Phi(x)+x*\bruch{d}{dx}\Phi(x)+x^2*\Phi(x)=
[/mm]
[mm] \bruch{d}{dx}(\bruch{d}{dx}\Phi(x))+\Phi(x)+2x*\bruch{d}{dx}\Phi(x)+x^2*\Phi(x)
[/mm]
Wäre das so richtig?
LG volk
EDIT: Das ist, glaube ich, ziemlicher Müll. Werde gleich meine neue Rechnung hier reinstellen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Mo 24.10.2011 | | Autor: | volk |
Hier noch einmal ein neuer Anlauf.
[mm] (\bruch{d}{dx}+x)^2\Phi(x)=(\bruch{d}{dx}+x)\circ(\bruch{d}{dx}+x)\Phi(x)=(\bruch{d}{dx}+x)(\bruch{d}{dx}\Phi(x)+x\Phi(x))=(\bruch{d}{dx}+\bruch{d}{dx}\Phi(x)+x\Phi(x))
[/mm]
Gruß
volk
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:54 Mo 24.10.2011 | | Autor: | mathfunnel |
Hallo volk!
> Hier noch einmal ein neuer Anlauf.
>
> [mm](\bruch{d}{dx}+x)^2\Phi(x)=(\bruch{d}{dx}+x)\circ(\bruch{d}{dx}+x)\Phi(x)=(\bruch{d}{dx}+x)(\bruch{d}{dx}\Phi(x)+x\Phi(x))=(\bruch{d}{dx}+\bruch{d}{dx}\Phi(x)+x\Phi(x))[/mm]
>
> Gruß
> volk
Diese Rechnung hier verstehe ich überhaupt nicht mehr!
Naja, dafür war Deine erste Korrektur völlig korrekt!
LG mathfunnel
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Hallo volk!
> Hallo mathfunnel,
>
> > Der Operator [mm](\bruch{d}{dx}+x)^2[/mm] ist definiert durch
> > [mm](\bruch{d}{dx}+x)\circ (\bruch{d}{dx}+x)[/mm] bzw. durch
> > [mm](\bruch{d}{dx}+x)((\bruch{d}{dx}+x)(\Phi(x)))[/mm]
> >
> > Wenn Du das ausrechnest, wirst Du den Unterschied
> > erkennen.
>
> [mm](\bruch{d}{dx}+x)((\bruch{d}{dx}+x)(\Phi(x)))=[/mm]
> [mm](\bruch{d}{dx}+x)(\bruch{d}{dx}\Phi(x)+x*\Phi(x))=[/mm]
>
> [mm]\bruch{d}{dx}(\bruch{d}{dx}\Phi(x))+\bruch{d}{dx}(x*\Phi(x))+x*\bruch{d}{dx}\Phi(x)+x^2*\Phi(x)=[/mm]
>
> [mm]\bruch{d}{dx}(\bruch{d}{dx}\Phi(x))+\Phi(x)*\bruch{d}{dx}x+x*\bruch{d}{dx}\Phi(x)+x*\bruch{d}{dx}\Phi(x)+x^2*\Phi(x)=[/mm]
>
> [mm]\bruch{d}{dx}(\bruch{d}{dx}\Phi(x))+\Phi(x)+2x*\bruch{d}{dx}\Phi(x)+x^2*\Phi(x)[/mm]
>
> Wäre das so richtig?
Das ist richtig!
Jetzt vielleicht noch [mm] $\bruch{d^2}{dx^2}$ [/mm] verwenden, [mm] $\Phi(x)$ [/mm] 'ausklammern' und mit [mm] $(\bruch{d}{dx} [/mm] + [mm] x)^2\Phi(x)$ [/mm] vergleichen. Wieso unterscheidet sich das Ergebnis von der gewöhnlichen binomischen Formel?
[mm] $(\bruch{d^2}{dx^2}+ 2x\bruch{d}{dx} [/mm] + [mm] (x^2+1))\Phi(x)$
[/mm]
EDIT: Das wollte ich eigentlich gar nicht reinschreiben!
Das passiert, wenn man zuviel kopiert.
> LG volk
>
> EDIT: Das ist, glaube ich, ziemlicher Müll. Werde gleich
> meine neue Rechnung hier reinstellen
Ojeoje... 
LG mathfunnel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:53 Mo 24.10.2011 | | Autor: | volk |
Hallo mathfunnel,
> Wieso unterscheidet sich das Ergebnis von der
> gewöhnlichen binomischen Formel?
>
Ich würde sagen, dass sich das Ergebnis unterscheidet, weil man einmal die Produktregel anwendet und so ein [mm] \Phi(x) [/mm] zusätzlich mit reinkriegt.
>
> [mm](\bruch{d^2}{dx^2}+ 2x\bruch{d}{dx} + (x^2+1))\Phi(x)[/mm]
>
> EDIT: Das wollte ich eigentlich gar nicht reinschreiben!
> Das passiert, wenn man zuviel kopiert.
>
LG volk
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Hallo volk!
> Hallo mathfunnel,
>
> > Wieso unterscheidet sich das Ergebnis von der
> > gewöhnlichen binomischen Formel?
> >
>
> Ich würde sagen, dass sich das Ergebnis unterscheidet,
> weil man einmal die Produktregel anwendet und so ein
> [mm]\Phi(x)[/mm] zusätzlich mit reinkriegt.
Stimmt!
Entscheidend ist hierbei, dass die beiden Operatoren $x$ und [mm] $\frac{d}{dx}$ [/mm] nicht kommutieren:
$x [mm] \circ\frac{d}{dx} \neq \frac{d}{dx}\circ [/mm] x$
In diesem speziellen Fall ist das eine Folge der Produktregel.
>
> >
> > [mm](\bruch{d^2}{dx^2}+ 2x\bruch{d}{dx} + (x^2+1))\Phi(x)[/mm]
> >
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> > EDIT: Das wollte ich eigentlich gar nicht reinschreiben!
> > Das passiert, wenn man zuviel kopiert.
> >
>
> LG volk
LG mathfunnel
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