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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:27 Fr 15.06.2012 | | Autor: | Marschal |
| Aufgabe | Guten Abend. Es ist eine symmetrische reelle $ [mm] n\times [/mm] n $ Matrix $ A $ gegeben mit den Eigenwerten $ [mm] \lambda_1 \leq...\leq \lambda_n [/mm] $, sowie $ [mm] R_A(x):=\bruch{\langle Ax, x \rangle }{\langle x, x \rangle} [/mm] $ für $ [mm] x\in \IR^n\! \setminus \! \{o\} [/mm] $
Behauptung: Dann gilt $ [mm] \lambda_1=\inf_{x \in \IR^n\! \setminus \! \{o\}} R_A(x) [/mm] $ und $ [mm] \lambda_n=\sup_{x \in \IR^n\! \setminus \! \{o\}} R_A(x) [/mm] $ |
Also aus $ A $ symmetrisch folgt, dass es eine orthogonale Matrix $ Q $ gibt, so dass gilt: $ [mm] Q^TAQ=diag(\lambda_1,...,\lambda_n) [/mm] $.
Also hat $ A $ n linear unabhängige, zueinander paarweise orthogonale Eigenvektoren $ [mm] v_1^{\perp},...,v_n^{\perp} [/mm] $
Jetzt könnte ich $ x $ als Linearkombination der $ [mm] v_i^{\perp}$'s [/mm] darstellen:
$ [mm] x=\summe_{i=1}^{n}\mu_iv_i^{\perp} [/mm] $, $ [mm] \mu_i\in \IR\ \forall [/mm] i $
Aber wie hilft mir das weiter? ![[weisswerd]](/images/smileys/weisswerd.gif "[weisswerd]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:30 Sa 16.06.2012 | | Autor: | SEcki |
> Aber wie hilft mir das weiter?
Einsetzen, ausrechnen.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:15 Sa 16.06.2012 | | Autor: | Marschal |
Ich verstehs nicht wirklich...: $ [mm] \bruch{\langle Ax, x \rangle }{\langle x, x \rangle} [/mm] = [mm] \bruch{\langle A\summe_{i=1}^{n}\mu_iv^{\perp}_i, \summe_{i=1}^{n}\mu_iv^{\perp}_i \rangle }{\langle \summe_{i=1}^{n}\mu_iv^{\perp}_i, \summe_{i=1}^{n}\mu_iv^{\perp}_i \rangle} [/mm] $
Aber wie berechnet man das?
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> Ich verstehs nicht wirklich...: [mm]\bruch{\langle Ax, x \rangle }{\langle x, x \rangle} = \bruch{\langle A\summe_{i=1}^{n}\mu_iv^{\perp}_i, \summe_{i=1}^{n}\mu_iv^{\perp}_i \rangle }{\langle \summe_{i=1}^{n}\mu_iv^{\perp}_i, \summe_{i=1}^{n}\mu_iv^{\perp}_i \rangle}[/mm]
>
> Aber wie berechnet man das?
Hallo,
mit den Regeln fürs Skalarprodukt,
unter Berücksichtigung der Tatsache, daß die [mm] v_i^{\perp} [/mm] paarweise orthogonal sind und EVen.
Mach's doch einfach mal für n=3.
LG Angela
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So, ich habs endlich geschafft, ich habe die orthogonalen Vektoren dafür noch normiert: [mm] \{\hat{v}_1^\perp ,\ ...,\ \hat{v}_n^\perp \}
[/mm]
Also: $ [mm] \bruch{\langle Ax, x \rangle }{\langle x, x \rangle} [/mm] = [mm] \bruch{\langle A\summe_{i=1}^{n}\mu_i\hat{v}^{\perp}_i, \summe_{i=1}^{n}\mu_i\hat{v}^{\perp}_i \rangle }{\langle \summe_{i=1}^{n}\mu_i\hat{v}^{\perp}_i, \summe_{i=1}^{n}\mu_i\hat{v}^{\perp}_i \rangle} [/mm] =\ ...\ = [mm] \bruch{\summe_{i=1}^{n}\lambda_i \mu_i^2}{\summe_{i=1}^{n}\mu_i^2} [/mm] $
und [mm] \bruch{\summe_{i=1}^{n}\lambda_i \mu_i^2}{\summe_{i=1}^{n}\mu_i^2}\leq \bruch{\summe_{i=1}^{n}\lambda_n \mu_i^2}{\summe_{i=1}^{n}\mu_i^2}=\lambda_n
[/mm]
bzw. [mm] \bruch{\summe_{i=1}^{n}\lambda_i \mu_i^2}{\summe_{i=1}^{n}\mu_i^2}\geq \bruch{\summe_{i=1}^{n}\lambda_1 \mu_i^2}{\summe_{i=1}^{n}\mu_i^2}=\lambda_1
[/mm]
Ich habe mich noch gar nicht bedankt. Dankeschön! Ich habe nur noch eine kleine Bitte: Mir fällt es schwer mein Ergebnis zu interpretieren. Bin ich jetzt schon fertig? Könnt ihr mir da noch mal kurz helfen?
Das wäre super toll....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:20 So 17.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:15 Mo 02.07.2012 | | Autor: | Marschal |
Vergessen zu bedanken habe ich auch noch:
Vielen Dank!
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