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| Aufgabe | Sei V ein Vektorraum.
Zeigen Sie: Wenn sich x [mm] \in [/mm] V auf zwei unterschiedliche Weisen als Linearkombination von { a1, ..., ak} darstellen lässt, dann sind a1, ..., ak linear abhängig. |
Hallo zusammen,
ich weiß, dass Vektoren linear abhängig sind, wenn es nicht triviale Linearkombinationen gibt, die den Nullvektor ergeben.
Leider fehlt mir jeglicher Ansatz, wie ich zeigen soll, dass a1,...,ak linear abhängig sind, weil man sie auf zwei unterschiedliche Weisen darstellen kann.
Ich danke schonmal für Antwort!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Sei V ein Vektorraum.
> Zeigen Sie: Wenn sich x [mm]\in[/mm] V auf zwei unterschiedliche
> Weisen als Linearkombination von { a1, ..., ak} darstellen
> lässt, dann sind a1, ..., ak linear abhängig.
> Hallo zusammen,
>
> ich weiß, dass Vektoren linear abhängig sind, wenn es
> nicht triviale Linearkombinationen gibt, die den Nullvektor
> ergeben.
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> Leider fehlt mir jeglicher Ansatz, wie ich zeigen soll,
> dass a1,...,ak linear abhängig sind, weil man sie auf
> zwei unterschiedliche Weisen darstellen kann.
Genau so wie du es gesagt hast, zeig dass es eine nicht triviale Linearkombination gibt sodass der Nullvektor rauskommt.
Mal angenommen es gibt [mm] $\lambda{}_1,...,\lambda{}_k$ [/mm] und [mm] $\mu{}_1,...,\mu{}_k$ [/mm] sodass [mm] $x=\lambda{}_{1}a_1+,...,+\lambda{}_{k}a_k$ [/mm] und [mm] $x=\mu_1a_1+,...,+\mu_ka_k.$ [/mm] $x-x$ ergibt den Nullvektor und [mm] $\lambda_i$ [/mm] und [mm] $\mu_i$ [/mm] sind nicht alle gleich.
Kommst du damit weiter?
Gruß helicopter
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Hallo,
also erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort!
ich habe dann ja schonmal die zwei unterschiedlichen Weisen, x darzustellen.
x - x ergibt den Nullvektor, da es ja dasselbe ist.
Ich stehe grade auf der Leitung, aber wie kann ich nun zeigen, dass a1,...,ak linear abhängig sind?
Liebe Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Mo 11.11.2013 | | Autor: | chrisno |
Die [mm] $\lambda$ [/mm] und die [mm] $\mu$ [/mm] sind verschieden, die Differenz also nicht Null.
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Okay, jetzt verstehe ich gar nichts mehr...
Müssen beide x nicht diesselben sein?
Liebe Grüße
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> Okay, jetzt verstehe ich gar nichts mehr...
>
> Müssen beide x nicht diesselben sein?
Hallo,
7+5 und 50-38 sind ja auch gleich...
Es ist dasselbe x, aber es kommt in verschiedenem Gewand daher.
Lies nochmal die Aufgabenstellung:
"Sei V ein Vektorraum.
Zeigen Sie: Wenn sich der Vektor x [mm] \in [/mm] V auf zwei unterschiedliche Weisen als Linearkombination der Vektoren a1,...,ak. darstellen lässt, dann sind a1, ..., ak linear abhängig."
Es gibt also reelle Zahlen [mm] \lambda_1, \lambda_k [/mm] und [mm] \mu_1,...,\mu_k [/mm] so,
daß man x sowohl schreiben kann als
x [mm] =\lambda_1 [/mm] a1 [mm] +...+\lambda_k [/mm] ak
als auch als
x [mm] =\mu_1 [/mm] a1 [mm] +...+\mu_k [/mm] ak.
Da die beiden Darstellungen lt. Voraussetzung unterschiedlich sind, gibt es mindestens einen Index j, für welchen [mm] \lambda_j\not=\mu_j.
[/mm]
(Kleiner Einschub: wir schauen uns das mal an einem konkreten Beispiel an.
Sei x [mm] =\vektor{0\\13},
[/mm]
a1 [mm] =\vektor{1\\2},
[/mm]
a2 [mm] =\vektor{1\\3},
[/mm]
a3 [mm] =\vektor{1\\0}.
[/mm]
Es ist x =
2*a1+3*a2-5*a3,
aber auch x=
6.5*a1+0*a2-6.5*a3.)
Es ist 0= x - x [mm] =(\lambda_1 [/mm] a1 [mm] +...+\lambda_j [/mm] aj [mm] +...+\lambda_k [/mm] ak ) - [mm] (\mu_1 [/mm] a1 [mm] +\mu_j [/mm] aj [mm] +......+\mu_k [/mm] ak )=(...)*a1 +...+(...)* aj +...+...+(...)* ak
Und nun? Siehst Du warum die a1, ..., ak linear abhängig sind?
LG Angela
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Also ich glaube schon zu wissen, dass sie linear abhängig sind, aber ich weiß nicht, wie man so etwas ,,zeigt'', bzw. ab wann etwas als gezeigt gilt.
Mit diesen Aufgaben tue ich mir ein bisschen schwer.
Aber vielen Dank! Es hat mir auf jeden Fall weitergeholfen!
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> Also ich glaube schon zu wissen, dass sie linear abhängig
> sind, aber ich weiß nicht, wie man so etwas ,,zeigt'',
> bzw. ab wann etwas als gezeigt gilt.
Hallo,
dann zeig doch mal, was Du gemacht hast und erkläre, warum Du glaubst zu issen, daß sie linear abhängig sind.
Sonst kann man ja schlecht weiterhelfen.
LG Angela
> Mit diesen Aufgaben tue ich mir ein bisschen schwer.
>
> Aber vielen Dank! Es hat mir auf jeden Fall weitergeholfen!
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Hallo,
also ich habe mal weitergemacht und bin dann auf
[mm] ...=(\lambda1-\mu1)*a1+...+(\lambda j-\mu j)*aj+...+(\lambda k-\mu [/mm] k)*ak
gekommen.
[mm] \lambda [/mm] j [mm] \not= \mu [/mm] j, deswegen ist die Linearkombination nicht trivial, also nicht jeder Koeffizient von a1,...,ak ist null.
Soweit hab ich das.
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Hallo,
> Hallo,
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> also ich habe mal weitergemacht und bin dann auf
>
> [mm]...=(\lambda1-\mu1)*a1+...+(\lambda j-\mu j)*aj+...+(\lambda k-\mu[/mm]
> k)*ak
>
> gekommen.
>
> [mm]\lambda[/mm] j [mm]\not= \mu[/mm] j, deswegen ist die Linearkombination
> nicht trivial, also nicht jeder Koeffizient von a1,...,ak
> ist null.
>
> Soweit hab ich das.
Ja, wenn [mm] $0=x-x=(\lambda_1-\mu_1)a_1+...+(\lambda_k-\mu_k)a_k$ [/mm] ist und du weißt das es mindestens ein [mm] $\lambda_i\not=\mu_i$ [/mm] mit $i=1,..,k$ gibt dann ist der Koeffizient nicht 0 und die Vektoren müssen linear abhängig sein.
Damit bist du mit der Aufgabe fertig.
Gruß helicopter
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