Lineare Abhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 So 08.11.2009 | | Autor: | yeyour |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob die folgenden Vektoren linear unabhängig sind:
a (0,-6.2), (7,8,-8); (-9,2,9)
b (1,1,1,1), (3,1,-1,-3), (9,8,7,6), (-2,1,4,7) |
Ich habe soweit das Gaußverfahren (Matrizenform) angewendet und komme auch zu folgenden Lösungen:
a) -6 8 2 0
0 7 -9 0
0 0 59 0
=> sind die jetzt linear unabhängig oder linear abhängig?
b.) 1 3 9 -2 0
0 1 8 1 0
0 0 15 5 0
0 0 0 0 0
=> oder ist das linear unabhängig?
oder sind beide linear unabhängig. Wie würde dann eine linearabhängige Lösung beim Gaußverfahren aussehen.
Vielen Dank für euere Hilfe!
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Entscheiden Sie, ob die folgenden Vektoren linear
> unabhängig sind:
>
> a (0,-6.2), (7,8,-8); (-9,2,9)
> b (1,1,1,1), (3,1,-1,-3), (9,8,7,6), (-2,1,4,7)
> Ich habe soweit das Gaußverfahren (Matrizenform)
> angewendet und komme auch zu folgenden Lösungen:
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Deine Zeilenstufenformen habe ich nicht geprüft. Ich gehe davon aus, daß sie richtig sind und interpretiere die Ergebnisse.
>
> a) -6 8 2 0
> 0 7 -9 0
> 0 0 59 0
> => sind die jetzt linear unabhängig oder linear
> abhängig?
Die 3 Vektoren sind linear unabhängig, denn der Rang der Matrix ist 3.
Dh. der von den drei Vektoren aufgespannte Raum hat die Dimension 3, also müssen sie eine Basis sein.
Oder anders formuliert: an der Endmatrix kannst Du ablesen, daß das GS [mm] \lambda_1v_1+\lambda_2v_2+\lambda_3v_3=0 [/mm] nur die Lösung [mm] \lambda_i=0 [/mm] für alle i hat.
>
> b.) 1 3 9 -2 0
> 0 1 8 1 0
> 0 0 15 5 0
> 0 0 0 0 0
> => oder ist das linear unabhängig?
Linear abhängig:
der Rang der Matrix ist 3 (drei Nichtnullzeilen in der ZSF), also hat der raum, der von den vier Spalten aufgespannt wird, die Dimension 3.
Damit können die 4 Vektoren nicht linear unabhängig sein.
Gruß v. Angela
>
> oder sind beide linear unabhängig. Wie würde dann eine
> linearabhängige Lösung beim Gaußverfahren aussehen.
>
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> Vielen Dank für euere Hilfe!
>
> P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 So 08.11.2009 | | Autor: | yeyour |
Vielen Dank erstmal für die Beantwortung meiner Frage, da die Antwort mir sehr weitergeholfen hat. Ich habe aber noch eine kurze Frage zur Abhängigkeit. Also immer wenn beim Gauß-Verfahren in der letzten Zeile Nullen stellen, also 0 0 0 handelt es sich um eine lineare Abhängigkeit? Oder woran erkenne ich beim Gauß-Verfahren die lineare Abhängigkeit?
Vielen Dank nochmal für die Beantwortung meiner Fragen.
Mfg
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> Vielen Dank erstmal für die Beantwortung meiner Frage, da
> die Antwort mir sehr weitergeholfen hat. Ich habe aber noch
> eine kurze Frage zur Abhängigkeit. Also immer wenn beim
> Gauß-Verfahren in der letzten Zeile Nullen stellen, also 0
> 0 0 handelt es sich um eine lineare Abhängigkeit? Oder
> woran erkenne ich beim Gauß-Verfahren die lineare
> Abhängigkeit?
Hallo,
wenn Du am Ende, in der Zeilenstufenform, weniger von Nullzeilen verschiedene Zeilen hast als Vektoren in Spalten in die Matrix geschrieben, dann sind die Vektoren linear abhängig:
Z.B.
Du hast drei Vektoren [mm] \in \IR^4 [/mm] reingesteckt und bekommst am Ende
-- [mm] \pmat{1&\*&\*&\*\\0&0&17&\*\\0&0&0&0\\\0&0&0&0}, [/mm] dann waren die 3 ursprunglich eingesetzten Vektoren abhängig, denn Du hast nur 2 Nichtnullzeilen.
-- [mm] \pmat{1&\*&\*&\*\\0&0&17&\*\\0&0&0&5\\\0&0&0&0}, [/mm] dann waren die 3 ursprunglich eingesetzten Vektoren unabhängig, denn Du hast 3 Nichtnullzeilen.
Es kommt also auf die von Null verschiedenen Zeilen an.
Gruß v. Angela
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