Lineare Abhängigkeit < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Di 05.04.2005 | | Autor: | Olaf |
Hi Leute,
ich habe leider wieder ein Problem mit einer Aufgabe:
Wie muss die reelle Zahl gewählt werden, damit die Vektoren linear abhängig sind?
[mm] \vektor{0 \\a \\ 1} \vektor{a^2 \\ 1 \\ 0} \vektor{0 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
[mm] k1*\vektor{0 \\a \\ 1} [/mm] + k2* [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{a^2 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Nun habe ich das als lineares Gleichungssystem geschrieben:
I 0k1 + 0k2 = [mm] a^2
[/mm]
II ak1 = 1
III k1 + k2 = 0
Jetzt komme ich aber nicht mehr weiter. Wie muss ich jetzt weiter vorgehen? Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich an solche Aufgaben rangehe??
Für Eure Hilfe schon im Voraus vielen Dank.
Olaf
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Hallo,
besser ist der folgende Ansatz:
[mm]k_{1} \left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
a \\
1 \\
\end{array} } \right)\; + \;k_{2} \left( {\begin{array}{*{20}c}
{a^{2} } \\
1 \\
0 \\
\end{array} } \right)\; + \;k_{3} \left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
0 \\
1 \\
\end{array} } \right)\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
0 \\
0 \\
\end{array} } \right)
[/mm]
Um die lineare Abhängigkeit zu zeigen, muß dieses Gleichungssystem nicht die triviale Lösung [mm]k_{1} \; = \;k_{2} \; = \;k_{3} \; = \;0[/mm] besitzen.
Ich denke jetzt kommst Du wohl alleine weiter.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Mi 06.04.2005 | | Autor: | Olaf |
Also schreibe ich dann das auch wieder in einem LGS:
I a*k2 = 0
II a*k1 + k2 = 0
III k1 + k3 = 0
Stimmt das? Und wie mache ich dann wieder weiter, so dass ich für a=0 rauskriege????????? Verstehe nit, wie ich das jetzt machen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:06 Mi 06.04.2005 | | Autor: | Hexe |
Naja das Ding auflösen halt. Aus I folgt das entweder a=0 oder k2=0 gelten muss.
Annahme k2=0 dann folgt aus II das entweder a=0 oder k1=0 gelten muss
Annahme k1=0 dann folgt aus III das k3 auch null sein muss. Also gibt es in dem Fall nur die triviale Lösung.
Deshalb muss a=0 gelten dann folgt aus II k2=0 und aus III k1=-k3 was eine Lösung ist
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Hi, Olaf,
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> [mm]\vektor{0 \\a \\ 1} \vektor{a^2 \\ 1 \\ 0} \vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]k1*\vektor{0 \\a \\ 1}[/mm] + k2* [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] =
> [mm]\vektor{a^2 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
Der Ansatz ist tatsächlich sehr riskant (MathePowers Ansatz geht dagegen immer!):
Setzt Du nämlich a=0, dann sind die beiden Vektoren auf der linken Seite identisch, der auf der rechten Seite ist nicht durch die "beiden" anderen darstellbar. Und tatsächlich ergibt sich letztlich: Nur für a=0 sind die 3 Vektoren linear abhängig!
Ähnliches kann immer mal auftreten: Dein Ansatz führt also nicht immer zu einer Lösung!
Als Alternative zu MathePowers Ansatz hätt' ich noch folgenden Vorschlag: Setz' einfach die Determinante gleich null:
[mm] \vmat{ 0 & a^{2} & 0 \\ a & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 } [/mm] = 0
Daraus: [mm] a^{3}=0 [/mm] bzw. a=0.
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