Lineare Abghängigkeit Vektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 So 30.01.2005 | | Autor: | wuz |
Erstmal Hi all!
Ich weiß, dass es diesbezüglich schon Einträge gibt, aber die nützen mir leider bei meinem Problem wenig, da ich 3 vektoren gegeben habe, und nun feststellen soll ob die folgenden vektoren linear abhängig zu den ersten 3 gegeben sind.
Konkret:
Gegeben seien 3 vektoren:
x=[1;2;-2] y=[4;3;-5] z=[-2;1;1]
Man stelle fest, ob die folgenden Vektoren
v=[-5;0;4] w=[-6;2;1]
linear abhängig von x,y,z sind
Jetzt habe ich im Forum bereits gelesen, dass man a) die vektoren mit Variablen multiplizieren kann und schauen ob sie den einheitsvektor treffen, also x+y+z=0, oder b) über die Determinante. Aber in diesem konkreten Fall bklicke ich ledier nciht ganz druch.
Vielen dank schon einmal im voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo wuz!
Erstmal: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Und dann direkt noch ein Tipp: Mit unserem Formeleditor werden die Formeln (und auch deine Vektoren) wesentlich besser leserlich!  Probier' es doch beim nächsten Mal bitte aus!
> Ich weiß, dass es diesbezüglich schon Einträge gibt, aber
> die nützen mir leider bei meinem Problem wenig, da ich 3
> vektoren gegeben habe, und nun feststellen soll ob die
> folgenden vektoren linear abhängig zu den ersten 3 gegeben
> sind.
Eigentlich könnte ich mir vorstellen, dass du mit diesen Einträgen schon etwas anfangen könntest, wenn du sie wirklich richtig gelesen hättest!? Aber ich versuche mal, es dir an deiner Aufgabe zu erklären:
> Konkret:
> Gegeben seien 3 vektoren:
> x=[1;2;-2] y=[4;3;-5] z=[-2;1;1]
> Man stelle fest, ob die folgenden Vektoren
> v=[-5;0;4] w=[-6;2;1]
> linear abhängig von x,y,z sind
Als erstes würde ich mal prüfen, ob diese drei Vektoren nicht vielleicht eine Basis bilden oder wenigstens linear unabhängig sind. Dann wären nämlich die beiden anderen auf jeden Fall linear abhängig von diesen Dreien, da es erstens maximal drei linear unabhängige Vektoren im [mm] \IR^3 [/mm] gibt, und man zweitens mit einer Basis (des [mm] \IR^3) [/mm] alle Vektoren des [mm] \IR^3 [/mm] darstellen kann und diese somit linear abhängig von den Basisvektoren sind.
Aber leider sind deine drei Vektoren linear abhängig - aber andernfalls wäre die Aufgabe auch mit meiner Erklärung von gerade schon gelöst!
> Jetzt habe ich im Forum bereits gelesen, dass man a) die
> vektoren mit Variablen multiplizieren kann und schauen ob
> sie den einheitsvektor treffen, also x+y+z=0, oder b) über
> die Determinante. Aber in diesem konkreten Fall bklicke ich
> ledier nciht ganz druch.
Also als erstes solltest du dir mal überlegen, was denn linear abhängig genau heißt:
Wenn der Vektor v linear abhängig von den Vektoren x, y und z ist, so lässt er sich als Linearkombination dieser drei Vektoren darstellen. Es gilt dann also:
ax+by+cz=v
In deinem Fall hast du also:
[mm] a\vektor{1\\2\\-2}+b\vektor{4\\3\\-5}+c\vektor{-2\\1\\1\\}=\vektor{-5\\0\\4}
[/mm]
Und das ist nicht mehr als ein (inhomogenes) lineares Gleichungssystem, das du einfach nur lösen musst. Wenn du eine Lösung erhältst, so ist der Vektor v linear abhängig von x, y und z, da du ihn ja dann genau mit deiner Lösung als Linearkombination darstellen kannst. Erhältst du aber irgendwie einen Widerspruch, also z. B. 5=8 oder ähnliches, so gibt es keine Lösung, und v ist linear unabhängig von x,y und z.
Probierst du es vielleicht mal bitte aus und schickst uns dann deine Lösung? Aber bitte mit Rechenweg und auch bitte bitte mit dem Formeleditor, auch wenn's dich vielleicht ein paar Minuten mehr Zeit kostet. Es wird dann wirklich viel leserlicher! 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 So 30.01.2005 | | Autor: | wuz |
Vielen Dank für deine Antwort!
[mm] \vmat{1a & 4b & -2c \\ 2a & 3b & 1c \\ -2a & -5b & 1c} \vektor{-5 \\ 0 \\ 4}
[/mm]
Jetzt Eleminationsverfahren z.B.: Zeile II + Zeile III
[mm] \vmat{1a & 4b & -2c \\ 0 & -2b & 2c \\ 0 & -2b & 2c} \vektor{-5 \\ 4 \\ 4}
[/mm]
und dann nochmal II + III
[mm] \vmat{1a & 4b & -2c \\ 0 & -2b & 2c \\ 0 & 0 & 0c} \vektor{-5 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
Das würde für das Gelichungssystem bedeuten, dass es unendlich veiele Lösungen gibt. Aber unendlich ist auch eine Lösung und somit sind sie linear abhängig oder?
analog für den zweiten Vektor:
[mm] \vmat{1a & 4b & -2c \\ 2a & 3b & 1c \\ -2a & -5b & 1c} \vektor{-6 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
Jetzt Eleminationsverfahren z.B.: Zeile II + Zeile III
[mm] \vmat{1a & 4b & -2c \\ 0 & -2b & 2c \\ 0 & -2b & 2c} \vektor{-6 \\ 3 \\ 3}
[/mm]
Hier zeichnet sich wieder unendlich viele Lösungen ab, also wieder linear abhängig.
Ist das soweit richtig?
Jetzt noch eine ganz andere fRage: wenn jetzt nur die 3 Vektoren x, y, z gegeben werden und die frage würde lauten ob diese linear abhängig sind, hätte dann die gleichung
ax+by+cz=0 (also 0 statt v), lauten müssen?
danke und lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:52 Mo 31.01.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo wuz
> Vielen Dank für deine Antwort!
>
> [mm]\vmat{1a & 4b & -2c \\ 2a & 3b & 1c \\ -2a & -5b & 1c} \vektor{-5 \\ 0 \\ 4}
[/mm]
>
>
> Jetzt Eleminationsverfahren z.B.: Zeile II + Zeile III
Und außerdem -2 [mm] \cdot [/mm] Zeile I + zeile II
>
> [mm]\vmat{1a & 4b & -2c \\ 0 & -5b & 5c \\ 0 & -2b & 2c} \vektor{-5 \\ 10 \\ 4}
[/mm]
>
>
> und dann nochmal II + III
stattdessen jetzt: II : 5 - III : 2
>
> [mm]\vmat{1a & 4b & -2c \\ 0 & -2b & 2c \\ 0 & 0 & 0c} \vektor{-5 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
>
>
> Das würde für das Gelichungssystem bedeuten, dass es
> unendlich veiele Lösungen gibt. Aber unendlich ist auch
> eine Lösung und somit sind sie linear abhängig oder?
Dein Ergebnis ist nur zufällig richtig. Es gibt unendlich viele Lösungen.
Du kannst dir ja eine Lösung heraussuchen, z.b. a=-3, b=1, c=3 und du erhälst
[mm] -3\vektor{1 \\ 2\\-2} + 1\vektor{4 \\ 3\\-5} - 3\vektor{-2 \\ 1\\1} = \vektor{-5 \\ 0\\4} [/mm]
Daraus siehst du unmittelbar die lineare Abhängigkeit.
An dem Ergebnis siehst du auch, dass die drei gegebenen Vektoren linear abhängig sind. sonst müsste deine Lösung nämlich eindeutig sein.
>
> analog für den zweiten Vektor:
>
> [mm]\vmat{1a & 4b & -2c \\ 2a & 3b & 1c \\ -2a & -5b & 1c} \vektor{-6 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
>
>
> Jetzt Eleminationsverfahren z.B.: Zeile II + Zeile III
Auch hier musst du die erste Zeile mitbenutzen. Siehe oben
Versuche es noch einmal
Nach meiner Rechnung gibt es keine Lösung
>
> [mm]\vmat{1a & 4b & -2c \\ 0 & -2b & 2c \\ 0 & -2b & 2c} \vektor{-6 \\ 3 \\ 3}
[/mm]
>
>
> Hier zeichnet sich wieder unendlich viele Lösungen ab, also
> wieder linear abhängig.
>
> Ist das soweit richtig?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
> Jetzt noch eine ganz andere fRage: wenn jetzt nur die 3
> Vektoren x, y, z gegeben werden und die frage würde lauten
> ob diese linear abhängig sind, hätte dann die gleichung
> ax+by+cz=0 (also 0 statt v), lauten müssen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß Sigrid
>
> danke und lg
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:00 Mo 31.01.2005 | | Autor: | wuz |
Vielen Dank, ich hab natürlich einen gravierenden Fehler begangen...darf beim gausch ja nicht die gleiche operation in einem satz auf 2 verschiedene zeilen anwenden.
mit dem vektor [mm] \vektor{-5 \\ 0 \\4} [/mm] besteht jetzt lineare abhängigkeit (unendlich viele lösungen), mit dem vektor [mm] \vektor{-6 \\ 2 \\1} [/mm] jedoch nicht, bekomme dafür auch keine lösung, danke..
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