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Hallo!
Ich habe hier eine Aufgabe zu lösen, aber ich verstehe nicht, was man bei einem Beweis mit "zeigen" und "widerlegen" tun soll, weil man wenn es falsch ist, Gegenbeispiele angeben muss, die mir sehr schwer fallen. Kann mir bite jemand helfen, das wäre nett.
Für x,y,z [mm] \in \IR [/mm] def. man:
$f(x,y,z) = [mm] \begin{pmatrix} (x,y,0), & \mbox{falls } z \not= 0 \\ (x,0,0), & \mbox{falls } z = 0 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Jetzt soll man zeigen oder widerlegen:
a) f: [mm] \IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] ist linear. (Ich weiß, dass diese Aussage falsch ist, aber ich weiß nicht, wie man das zeigt.)
b) {v [mm] \in \IR^{3} [/mm] | f(v)=0} ist ein Unterraum des [mm] \IR^{3}. [/mm] (Diese Aussage muss richtig sein, aber wie zeig ich das?)
[mm] c)f[\IR^{3}] [/mm] ist ein Unterraum des [mm] \IR^{3}.
[/mm]
Ich verstehe bei solchen Beweisen nicht, wie ich vorgehen soll, und wie man beweisen, kann, dass eine Aussage nicht stimmt, weil mir die Gegenbsp. nicht einfallen.
Danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Di 08.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo wetterfrosch!
> Ich habe hier eine Aufgabe zu lösen, aber ich verstehe
> nicht, was man bei einem Beweis mit "zeigen" und
> "widerlegen" tun soll, weil man wenn es falsch ist,
> Gegenbeispiele angeben muss, die mir sehr schwer fallen.
> Kann mir bite jemand helfen, das wäre nett.
>
> Für x,y,z [mm]\in \IR[/mm] def. man:
> [mm]f(x,y,z) = \begin{pmatrix} (x,y,0), & \mbox{falls } z \not= 0 \\ (x,0,0), & \mbox{falls } z = 0 \end{pmatrix}[/mm].
>
>
> Jetzt soll man zeigen oder widerlegen:
> a) f: [mm]\IR^{3} \to \IR^{3}[/mm] ist linear. (Ich weiß, dass
> diese Aussage falsch ist, aber ich weiß nicht, wie
> man das zeigt.)
Nun, es gilt:
$f(1,1,1) + f(1,1,-1) = (1,1,0) + (1,1,0) = (2,2,0)$,
aber:
$f((1,1,1) + (1,1,-1)) = f(2,2,0) = (2,0,0)$,
also:
$f(1,1,1) + f(1,1,-1) [mm] \ne [/mm] f((1,1,1) + (1,1,-1))$,
d.h. $f$ ist nicht linear.
Wie habe ich mir das konstruiert?
Nun ja, da wir eine Fallunterscheidung in $z=0$ und $z [mm] \ne [/mm] 0$ haben, ist es naheliegend so anzusetzen, dass die beiden Summanden $z [mm] \ne [/mm] 0$, aber die Summe $z=0$ erfüllt.
> b) [mm]\{v \in \IR^{3}| f(v)=0\}[/mm] ist ein Unterraum des [mm]\IR^{3}.[/mm] (Diese Aussage
> muss richtig sein, aber wie zeig
> ich das?)
Diese Aussage ist falsch!
Es gilt nämlich
$(0,1,0) [mm] \in [/mm] Kern(f)$ und $(0,0,1) [mm] \in [/mm] Kern(f)$, aber:
$(0,1,0) + (0,0,1) = (0,1,1) [mm] \notin [/mm] Kern(f)$
wegen
$f(0,1,1) = (0,1,0)$.
[mm]c)f[\IR^{3}][/mm] ist ein Unterraum des [mm]\IR^{3}[/mm]´.
Ja, offenbar ist
[mm] $f(\IR^3) [/mm] = [mm] \{(x,y,0) \in \IR^3\, : \, x,y, \in \IR\}$
[/mm]
ein Unterraum des [mm] $\IR^3$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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Hallo,
danke für die Erklärung, aber ich verstehe immer noch nicht, wie du auf dieses gekommen bist. Woher weißt du dass (0,1,0) und (0,0,1) im Kern von f drin sind? und woher weißt du, dass die Summer der beiden nicht im Kern drin ist? Ich verstehe die Gleichheit zwischen (0,1,1) und (0,1,0) niht.
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:20 Di 08.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Im Kern liegen alle Elemente, die auf $0$ abgebildet werden. Überprüfe doch einfach mal anhand der Definition von $f$, dass diese Elemente auf den Nullvektor $(0,0,0)$ abgebildet werden (dann liegen sie im Kern) oder eben nicht (dann liegen sie nicht im Kern).
Viele Grüße
Julius
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