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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 So 27.05.2007 | | Autor: | Leni-H |
| Aufgabe | | http://home.mathematik.uni-freiburg.de/hannes/SS07/LA2/Uebungen/06.pdf |
Hallo!
Ich komme mal wieder bei Aufgabe 1 nicht weiter bzw. finde keinen Ansatz. Zuerst muss ich ja die Existenz zeigen.... Muss / kann ich mir da irgendwas definieren? Ich weiß gar nicht wie ich anfangen soll. Und wie siehts mit der Eindeutigkeit aus?
Für ein paar Anregungen wäre ich euch sehr dankbar.
LG Leni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:25 So 27.05.2007 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
Im Prinzip kannst Du für den Beweis der Existenz schon irgendetwas zusammendefinieren, allerdings wirst Du bei dieser Aufgabe damit nicht allzu weit kommen, da es ja nur eine "richtige" Definition gibt.
Nimm doch einfach mal einen beliebigen Vektor [mm] v\in\IC^n [/mm] her. Den kann man ja wie in der Aufgabenstellung angegeben eindeutig darstellen als
$v=x+iy$ mit [mm] $x,y\in\IR^n$. [/mm] Jetz wollen wir ein lineares [mm] L^\IC [/mm] definieren, das auf [mm] \IR^n [/mm] mit L übereinstimmt. Da bleiben uns aber nicht viele Möglichkeiten, denn:
[mm]L^\IC(v) = L^\IC(x+iy) = ...[/mm]
und hier benutze die geforderte Linearität von [mm] L^\IC.
[/mm]
Wenn Du nun weisst, wie [mm] L^\IC [/mm] aussehen muss musst Du noch zeigen, dass es auch die geforderten Eigenschaften besitzt (d.h. linear ist und die Geschichte mit der Restriktion auf [mm] $\IR^n$). [/mm] Die Eindeutigkeit ergibt sich eigentlich schon aus der Herleitung.
Kommst Du damit klar?
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Leni-H |
Hallo Piet!
Danke für deine Antwort. Ich verstehe was du meinst, komme aber trotzdem noch nicht so ganz klar mit der Aufgabe.
Was bedeutet eigentlich die Restriktion auf [mm] \IR^{n}? [/mm] Bedeutet das einfach, dass ich dann nur den Realteil des komplexen Vektors abbilde?
Bin ich auf dem richtigen Weg, wenn ich [mm] L^{\IC} [/mm] definiere als:
[mm] L^{\IC}(v) [/mm] = L (Re(v)) + Im(v) ???
LG Leni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:42 Mo 28.05.2007 | | Autor: | piet.t |
> Hallo Piet!
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> Danke für deine Antwort. Ich verstehe was du meinst, komme
> aber trotzdem noch nicht so ganz klar mit der Aufgabe.
> Was bedeutet eigentlich die Restriktion auf [mm]\IR^{n}?[/mm]
> Bedeutet das einfach, dass ich dann nur den Realteil des
> komplexen Vektors abbilde?
Nein, nicht ganz. Restriktion auf [mm] \IR^n [/mm] bedeutet, dass man nur echt reelle Vektoren (also solche komplett ohne Imaginärteil) betrachtet.
>
> Bin ich auf dem richtigen Weg, wenn ich [mm]L^{\IC}[/mm] definiere
> als:
>
> [mm]L^{\IC}(v)[/mm] = L (Re(v)) + Im(v) ???
>
>
> LG Leni
Der Ansatz ist schon mal gar nicht so schlecht, allerdings ist es so wie es dasteht noch nicht linear. Mit einem reellen Vektor x wäre bei Deiner Festlegung ja $L(ix)= x$, allerdings müsste gelten, dass $L(ix) = i*L(x)$.
Aber wie oben schon gesagt: wass kann man denn mit Hilfe der Linearität über $L(x+iy)$ aussagen??
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Leni-H |
Hi Piet!
Ja also ich kann mit der Linearität von aussagen, dass [mm] L^{\IC} [/mm] (x+iy) = [mm] L^{\IC} [/mm] (x) + i [mm] L^{\IC} [/mm] (y) ist, oder?
Aber ich komm im Moment echt nicht drauf, wie ich dann [mm] L^{\IC} [/mm] definieren soll....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Mo 28.05.2007 | | Autor: | piet.t |
Naja, x und y sind doch reelle Vektoren. Und für solche soll doch gelten, dass [mm] $L^\IC(x) [/mm] = L(x)$. Und damit hast Du die Definition und die Eindeutigkeit schon auf einmal erledigt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Mo 28.05.2007 | | Autor: | Leni-H |
Also definier ich mir jetzt [mm] L^{\IC} [/mm] (x) = L (x) mit x [mm] \in \IR^{n} [/mm] ??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 Mo 28.05.2007 | | Autor: | piet.t |
> Also definier ich mir jetzt [mm]L^{\IC}[/mm] (x) = L (x) mit x [mm]\in \IR^{n}[/mm]
> ??
Für [mm] $x\in\IR^n$ [/mm] ist das so richtig. Und was ist dann [mm] $L^\IC(v)$ [/mm] wenn [mm] $v\in\IC\setminus\IR$ [/mm] - das kannst Du ja dann direkt aus Deinem Post von 18:05 Uhr ablesen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:56 Di 29.05.2007 | | Autor: | Leni-H |
Hallo!
Ich bin jetzt (hoffentlich) ein kleines Stück weiter gekommen.
Ich habe nun [mm] L^{\IC} [/mm] (v) := L (Re(v)) + i*L(Im(v)) Richtig?
Dann habe ich die Linearität von [mm] L^{\IC} [/mm] folgendermaßen nachgewiesen:
Mit v= x+iy und w= s+it gilt
[mm] L^{\IC} [/mm] (v+w) = [mm] L^{\IC} [/mm] ((x+iy)+(s+it)) = [mm] L^{\IC} [/mm] (x+s+i(y+t)) =
L (x+s) + i L(y+t) = L(x) + L(s) + i ( L(y) + L(t) ) =
L(x) + L(s) + i L(y) + i L(t) = L(x) + i L(y) + L(s) + i L(t) =
[mm] L^{\IC} [/mm] (x+iy) + [mm] L^{\IC} [/mm] (s+it) = [mm] L^{\IC} [/mm] (v) + [mm] L^{\IC} [/mm] (w)
Homogenität analog.
Ich hoffe, dass das soweit richtig ist?
Nun muss ich ja noch die Restriktion auf [mm] \IR^{n} [/mm] zeigen.
Kann man das so machen? :
Für v [mm] \in \IR^{n} [/mm] gilt:
[mm] L^{\IC}_{|\IR^{n}} [/mm] (v) = L (Re(v)) + i L(Im(v)) = L (Re(v)) + i+0 =
L (Re(v)) = L(v)
Lg Leni
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Ganz genau so!
