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| Aufgabe | Sei [mm] U=\IR^7 [/mm] und [mm] V=\IR^8. [/mm] Wie viele injektive, surjektive, bijektive Abbildungen gibt es:
i) Von U nach V?
ii) Von V nach U?
iii)Von V nach V bzw. U nach U? |
Hallo zusammen, das ist ja eher eine allgemeine Verständnisfrage und ich habe mich mal versucht:
i) Von U nach V gibt es doch unendlich viele injektive Abbildungen, weil man eine solche Abbildung durch eine Matrix beschreiben könnte und diese Matrix mit einer beliebigen reellen Zahl multiplizieren (Rang bleibt erhalten).Der Rang einer solchen Matrix wäre dann rang A=7, oder??
Desweiteren gibt es von U nach V keine surjektive Abbildung (würde ich intuitiv mal behaupten, weil der [mm] \IR^8 [/mm] einfach eine Dimension mehr hat, welche durch den [mm] \IR^7 [/mm] nicht erreicht werden kann.
Könnte mir an dieser Stelle vllt jemand helfen das präziser zu begründen?
Demnach gibt es auch keine Bijektive Abbildung von U nach V.
ii)Von V nach U gibt es doch hingegen keine injektive Abblidung (Da [mm] \IR^8 [/mm] eine Dimension mehr hat und man damit die Eindeutigkeit verliert?)
Leider sind meine Begründungen mehr intuitiv gestützt, wäre dankbar, wenn mir jemand helfen könnte, das sauber zu fassen!
Danke schonmal im Voraus!
Liebe Grüße
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> Sei [mm]U=\IR^7[/mm] und [mm]V=\IR^8.[/mm] Wie viele injektive, surjektive,
> bijektive Abbildungen gibt es:
> i) Von U nach V?
> ii) Von V nach U?
> iii)Von V nach V bzw. U nach U?
> Hallo zusammen, das ist ja eher eine allgemeine
> Verständnisfrage und ich habe mich mal versucht:
>
> i) Von U nach V gibt es doch unendlich viele injektive
> Abbildungen, weil man eine solche Abbildung durch eine
> Matrix beschreiben könnte und diese Matrix mit einer
> beliebigen reellen Zahl multiplizieren (Rang bleibt
> erhalten).Der Rang einer solchen Matrix wäre dann rang
> A=7, oder??
Hallo,
was Du sagst, stimmt.
Bring jetzt ein Beispiel für solch eine injektive Abbildung f und zeige, daß für jedes r auch rf injektiv ist.
> Desweiteren gibt es von U nach V keine surjektive
> Abbildung (würde ich intuitiv mal behaupten, weil der
> [mm]\IR^8[/mm] einfach eine Dimension mehr hat, welche durch den
> [mm]\IR^7[/mm] nicht erreicht werden kann.
Der Gedanke ist richtig.
Dahinter steckt, daß die Ürbilder linear unabhängger Vektoren unabhängig sind, was Ihr sicher schon als Übungsaufgabe o-ä. gezeigt habt. (Es ist kein Fehler, dies zu können...)
> ii)Von V nach U gibt es doch hingegen keine injektive
> Abblidung (Da [mm]\IR^8[/mm] eine Dimension mehr hat und man damit
> die Eindeutigkeit verliert?)
In VL oder Übung wurde gewiß gezeigt, daß für injektive lineare Funktionen die Bilder linear unabhängiger Vektoren linear unabhängig sind. Darauf kannst Du Dich berufen. (Den Beweis sollte man können.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:04 Sa 05.02.2011 | | Autor: | Theoretix |
Ok, danke dir für die Antwort!
Gruß
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