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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:54 Do 12.11.2009 | | Autor: | jales |
| Aufgabe | Es seien V und W zwei [mm] \IK [/mm] - Verktorräume, und f,g : V [mm] \to [/mm] W lineare Abbildungen und [mm] \lambda \in \IK. [/mm] Man zeige :
1. f + g ist linear;
2. [mm] \lambda [/mm] f ist linear;
3. Ist f : V [mm] \to [/mm] W bijektiv, so ist auch die Umkehrabbildung [mm] f^{-1} [/mm] : W [mm] \to [/mm] V linear. |
Ich habe schon bei Aufgabe 1 keine Ahnung mehr, wie ich das zeigen soll. Ich weiß, dass eine Funktion f linear ist, wenn gilt : f(a + b) = f(a) + f(b) und [mm] f(\lambda [/mm] a) = [mm] \lambda [/mm] f(a).
Nur wie kombiniere ich das nun mit 2 Funktionen ? Ich checks einfach nit ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Do 12.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich mach Dir mal 1. vor:
$(f+g)(a+b) = f(a+b)+g(a+b) = (f(a)+f(b))+ (g(a)+g(b)) = (f(a)+g(a))+(f(b)+g(b))= (f+g)(a)+(f+g)(b)$
[mm] $(f+g)(\lambda [/mm] a)= [mm] f(\lambda [/mm] a)+g( [mm] \lambda [/mm] a) = [mm] \lambda f(a)+\lambda [/mm] g(a) = [mm] \lambda [/mm] (f(a)+g(a)) = [mm] \lambda [/mm] (f+g)(a)$
Damit ist f+g linear.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:44 Do 12.11.2009 | | Autor: | jales |
Vielen Dank für die Hilfe !
Die Rechnung an sich ist mir klar - nur weiß ich nicht, wie ich auf soetwas komme. Wenn ich mir nun zB. die 3. anschaue, weiß ich schon wieder nicht weiter. Kann ich da einfach argumentieren mit [mm] f^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{f} [/mm] und dann wieder sagen, dass [mm] \bruch{1}{f(a+b)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{f(a) + f(b)} [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:49 Do 12.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank für die Hilfe !
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> Die Rechnung an sich ist mir klar - nur weiß ich nicht,
> wie ich auf soetwas komme.
Das legt doch die Aufgabenstellung nahe !! Du sollst die Linearität zeigen ( ich habs Dir für die Funktion f+g vorgemacht)
> Wenn ich mir nun zB. die 3.
> anschaue, weiß ich schon wieder nicht weiter. Kann ich da
> einfach argumentieren mit [mm]f^{-1}[/mm] = [mm]\bruch{1}{f}[/mm] und dann
> wieder sagen, dass [mm]\bruch{1}{f(a+b)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{f(a) + f(b)}[/mm]
> ?
Mein lieber Scholli ! f(a), f(b) etc.. sind doch Elemente eine Vektorraumes !! Und Du dividierst ??
[mm] f^{-1} [/mm] ist die Umkehrabbildung (Umkehrfunktion). Ist Dir klar was das ist ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Do 12.11.2009 | | Autor: | jales |
Hat sich geklärt, danke.
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Hallo,
hast Du mit der zweiten Zeile nicht die 2. Teilaufgabe bewiesen?
Vielen Dank.
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Also ich hätte zu der zweiten Teilaufgabe das:
[mm] (\lambda [/mm] * F)(a+b)
= [mm] \lambda [/mm] F (a+b)
[mm] =\lambda [/mm] (aF(v)+bF(w))
=a [mm] \lambda [/mm] F(v)+b [mm] \lambda [/mm] F(w)
[mm] =a(\lambda F)(v)+b(\lambda [/mm] F)(w)
So ok?
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> Also ich hätte zu der zweiten Teilaufgabe das:
>
> [mm](\lambda[/mm] * F)(a+b)
> = [mm]\lambda[/mm] F (a+b)
> [mm]=\lambda[/mm] (aF(v)+bF(w)
Mit welchen VR-Axiomen begründest Du diesen Schritt?
> =a [mm]\lambda[/mm] F(v)+b [mm]\lambda[/mm] F(w)
> [mm]=a(\lambda F)(v)+b(\lambda[/mm] F)(w)
>
> So ok?
Hallo,
nein.
Du mußt zeigen, daß für alle [mm] v,w\in [/mm] V und für alle [mm] \mu\in [/mm] K gilt
[mm] (\lambda F)(v+w)=(\lambda F)(v)+(\lambda [/mm] F)(w)
[mm] (\lambda F)(\mu v)=\mu(\lambda [/mm] F)(v).
Dazu mußt Du Dich der Linearität von F bedienen und der Def. vpn [mm] (\lambda [/mm] F).
Kein Schritt ohne Begründung!
Gruß v. Angela
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