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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:22 Mo 02.11.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | Sei [mm] \alpha: \IQ^4 \to \IQ^4 [/mm] die durch [mm] \alpha \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} \\ x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4} \\ x_{1}+x_{4} \\ 3x_{1}-x_{2}-x_{3}+3x_{4}} [/mm] definierte Abbildung.
Berechnen Sie eine Basis von [mm] Kern(\alpha) [/mm] |
Hallo,
Also zu allererst hab ich die Darstellungsmatrix bezüglich der Standardbasis aufgestellt: A:= [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 &1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & -1 & 3}.
[/mm]
Nun mussich ja as Gleichungssystem Ax=0 lösen, dazu hab ich elementare Zeilenumformung betrieben und kam somit auf die Matrix: [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}.
[/mm]
Hieraus folgt ja nun, dass [mm] x_{2}=-x_{3} [/mm] und [mm] x_{1}=-x_{4}, [/mm] aber wie lese ich nun hieraus die Basis des Kerns ab?
B= [mm] \{\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 3}, \vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ -1}\} [/mm] müsste ja dann die des Bildes sein...?
Wäre um jede Hilfe dankbar.
Viele Grüße
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> Sei [mm]\alpha: \IQ^4 \to \IQ^4[/mm] die durch [mm]\alpha \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}[/mm]
> = [mm]\vektor{x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4} \\ x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4} \\ x_{1}+x_{4} \\ 3x_{1}-x_{2}-x_{3}+3x_{4}}[/mm]
> definierte Abbildung.
> Berechnen Sie eine Basis von [mm]Kern(\alpha)[/mm]
> Hallo,
> Also zu allererst hab ich die Darstellungsmatrix
> bezüglich der Standardbasis aufgestellt: A:= [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & -1 &1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & -1 & 3}.[/mm]
>
> Nun mussich ja as Gleichungssystem Ax=0 lösen, dazu hab
> ich elementare Zeilenumformung betrieben und kam somit auf
> die Matrix: [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}.[/mm]
--> [mm] \pmat{ 1 & 0 &0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
>
> Hieraus folgt ja nun, dass [mm]x_{2}=-x_{3}[/mm] und [mm]x_{1}=-x_{4},[/mm]
> aber wie lese ich nun hieraus die Basis des Kerns ab?
Hallo,
Du hast sie fast.
Du hast herausgefunden, daß die Lösungen [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4} [/mm] die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{-x_4\\-x_3\\\x_3\\x_4}=x_4*\vektor{-1\\0\\0\\1} [/mm] + [mm] x_3\vektor{0\\-1\\1\\0} [/mm] haben,
also eine Linearkombination die Vektoren [mm] \vektor{-1\\0\\0\\1} [/mm] und [mm] \vektor{0\\-1\\1\\0} [/mm] sind, welche aufgrund ihrer Unabhängigkeit eine Basis des Kerns bilden.
> B= [mm]\{\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 3}, \vektor{1 \\ -1 \\ 0 \\ -1}\}[/mm]
> müsste ja dann die des Bildes sein...?
Ja.
Gruß v. Angela
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