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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:03 Di 08.03.2005 | | Autor: | cherio_2 |
Hi ihr süßen ,
da steh ich doch eine woche vor ner mündlichen prüfung gerade total auf'm schlauch ...
Kämpfe mich gerad durch ne aufgabe in der es um matrixdarstellung der linearen abbildung geht ...da fängt es ja schon an ? was ist ne matrixdarstellung davon ? ich mein wie kann ich mir das irgendwie erklären ?
Also folgende Aufgabe :
Es seien e1,2,3 die einheitsvektoren des [mm] \IR3
[/mm]
und
v1 [mm] =\vektor{1 \\ 2 \\ 3} v2=\vektor{2 \\ 3 \\ 4} v3=\vektor{0 \\ 1 \\ 3}
[/mm]
Bestimme die Matrixdarstellung der lin.Abbildungen L und M bzgl der Einheitsvektoren e 1, e 2, e 3 im Bild und Urbildraum, welche
L : e i [mm] \to [/mm] v i
M : v i [mm] \to [/mm] e i
realisieren ?
also der bildraum besteht doch auch den zeilen und der urbildraum aus den spalten der matrix,oder ?
Nun wird gesagt,daß ich um L (e i) zu erhalten die Einheitsvektoren jeweils einzeln mit den Vektoren v1,v2 und v3 berechne also :
L(e1) = v1 = 1*e1 + 2*e2 + 3*e3
L(e2) = v2 = 2*e1 + 3*e2 + 4*e3
L(e3) = v3 = 0 *e1+ 1*e2 + 3*e3
und wenn man das berechnet hat man dann die Matrixdarstellung von L.
das aufschreiben,fällt mir nicht schwer,aber was für werte sind das genau die in der darstellung als spaltenvektoren da stehen? sind das die Koordinatenvektoren von v bzgl der Standardbasis ?
Im zweiten teil wird M nicht so berechnet,sondern über die Matrix
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 3 } [/mm] * r = e1 oder e2 oder e3
r steht für den koordinatenvektor der berechnet werden soll .
warum kann ich nicht einfach das gleiche machen wie mit L ?
und was sagt mir der Koordinatenvektor über den Bildraum bzw.Urbildraum.
Es fällt vielleicht auf,das ich im moment tatsächlich überhaupt keine ahung habe und wahrscheinlich mehr als nur eine katastrophale schlussfolgerung gezogen habe ...
wäre daher für jede hilfe dankbar, denn bei diesem thema verläßt mich meine räumliche vorstellungsgabe voll und ganz !!!
ich dank schon mal im vorraus :)
lg
nadine
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Hallo Nadine,
wichtig ist das Verständnis einer Abbildung.
Anfangs reicht es wenn du dir eine Funktion f(x) = 2x vorstellst.
Man setzt ein x (Definitionsbereich) ein und erhält ein y (Wertebereich).
So ist es auch mit den Matrizen. Du setzt einen Vektor x (Urbildraum) ein
und erhälst einen Vektor y(Bildraum).
Wenn wir eine 2x2 Matrix nehmen, dann kann x jeder beliebige Vektor aus
dem 2dimensionalen Raum sein und es kommt auch ein 2 dimensionaler
Vektor raus.
Nun kann man für den Urbildraum eine Basis wählen und für
den Bildraum eine Basis wählen und die Abbildung (Matrix) bestimmen,
unter der die Koeffizientenvektoren vom Urbildraum in den Bildraum übergehen (und genau das ast du in deiner Aufgabe getan)
Eh ich jetzt weiterschreibe, kannst du dich dazu äußern, ob noch was
unklar ist.
Wahrscheinlich schreibt auch jemand anders noch seine Erklärung dazu
Gruß
marthasmith
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:06 Mi 09.03.2005 | | Autor: | cherio_2 |
hi martasmith,
vielen dank für deine antwort.
deine eingangs beschreibung,war daß was ich ich gebraucht habe um zumindest zu verstehen,was eine lineare abbildung überhaupt heißt!
wenn ich jedem x wert einen y wert zu ordnen kann,heißt es dann,daß lineare abbildung ein anderer begriff ist für eine bijektive abbildung ?
und dann hätte ich noch ne frage zu deiner antwort,da mir immer noch einiges nicht wirklich klar ist :
also ,was ein bildraum und ein urbildraum jetzt ist,ist mir soweit klar.aber wie bestimme ich den?ich mein woher weiß ich,bei der aufgabe welcher von den beiden der bildraum ist.und welcher der urbildraum?oder ist das ersichtlich aus der aussage,daß
e [mm] \to [/mm] v realisiert werden soll?
großer dank schon mal im voraus!!
lg
nadine
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Hallo Nadine,
bei einer Abbildung [mm] \IR [/mm] ^{3x3} [mm] \rightarrow \IR^{3x3}
[/mm]
legt nur fest, wie sich ein Vektor durch die Abbildung verändert, d.h.
wenn man für den Bildraum und den Urbildraum dieselbe Basis verwendet
(man wird meist den Einheitsraum nehmen), kannst du sehen was mit den Vektoren passiert (z.B. Drehungen, Spieglungen).
Nun wird's ein wenig philosophisch, der Rest könnte auch falsch sein,
also mit Vorsicht genießen!!!!!
Zum Thema "bijektiv". Aus meiner Sicht ist das nicht so richtig, weil
ich z.B. die Matrix [mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] nehmen könnte. Nun werden
alle Vektoren aus dem [mm] \IR [/mm] ^2 auf den Nullvektor abgebildet. Wenn es sich um einen bijektive Abbildung handeln würde, müsste ich sie invertieren können, das geht bei dieser Matrix nicht, weil sie nicht regulär ist.
Anders wäre es wenn es sich um eine reguläre Matrix handeln würde,
denn dann könnte man sie ivertieren.
Naja, vielleicht hilfts ein wenig.
Gruß
marthasmith
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:03 Di 08.03.2005 | | Autor: | Julius |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo!
Ist $f : V \to W$ eine lineare Abbildung, ${\cal A}=\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$ eine Basis von $V$ und ${\cal B}=\{w_1,w_2,\ldots,w_m\}$ eine Basis von $W$, dann stehen in den Spalten der Darstellungsmatrix $A:=M_{\cal B}^{\cal A}(f)$ die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren von ${\cal A}$ bezüglich der Basis ${\cal B}$.
Ist also
$f(v_i)= a_{1i}w_1 + a_{2i}w_2 + \ldots + a_{mi} w_i$,
dann hat die $i$-te Spalte von $A$ gerade die Form
$\begin{pmatrix} a_{1i} \\ a_{2i} \\ \vdots \\ a_{mi} \end{pmatrix}$.
Wenn man nun $f$ auf der Standardbasis ${\cal E}_n$ vorgibt, etwa so (für $n=m=3$):
$f(e_1)=v_1 = \begin{pmatrix} v_{11} \\ v_{21} \\ v_{31} \end{pmatrix}$,
$f(e_2)=v_2 = \begin{pmatrix} v_{12} \\ v_{22} \\ v_{32} \end{pmatrix}$,
$f(e_3)=v_3 = \begin{pmatrix} v_{13} \\ v_{23} \\ v_{33} \end{pmatrix}$,
und will dann die Matrixdarstellung von $f$ bezüglich der Standardbasis entwickeln, dann hat man es einfach: In die Spalten kommen nämlich einfach $v_1$, $v_2$ und $v_3$:
$M_{{\cal E}_3}^{{\cal E}_3}(f) = \begin{pmatrix} v_{11} & v_{12} & v_{13} \\ v_{21} & v_{22} & v_{23} \\ v_{31} & v_{32} & v_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} | & | & | \\ v_1 & v_2 & v_3 \\| & | & | \end{pmatrix}$.
Dies ist klar, eben wegen
$f(e_1) = v_1 = v_{11} \cdot e_1 + v_{21} \cdot e_2 + v_{31} \cdot e_3$.
Will man nun umgekehrt die Matrixdarstellung der durch
$g(v_1)=e_1$,
$g(v_2)=e_2$,
$g(v_3)=e_3$
festgelegten linearen Abbildung bezüglich der Standardbasis bestimmen, so wird es schwieriger, denn man bräuchte ja die Koordinaten der Bilder $g(e_i)$, hat aber nur die von $g(v_i)$. Was man aber jetzt machen könnte, wäre Folgendes:
Stelle die $e_i$ als Linearkombination der $v_i$ dar, d.h. löse ein lineares Gleichungssystem. Dann steht in der Spalten der Darstellungsmatrix einfach die gleiche Linearkombination der Koordinatenvektoren der Bilder der $v_i$!
Klar, oder?
Denn:
$g(e_i) = g(b_{1i}v_1 + b_{2i}v_2 + b_{3i}v_3}) = b_{1i} g(v_1) + b_{2i}g(v_2) + b_{31}g(v_3)$.
Und genau das habt ihr gemacht!
Oder aber, anders gesagt:
Man kann zeigen, dass für eine invertierbare lineare Abbildung $f:V \to W$ mit $\dim(V)=\dim(W) < \infty$ folgendes gilt, wobei ${\cal A}$ eine Basis von $V$ und ${\cal B}$ eine Basis von $W$ ist:
$M_{{\cal B}}^{{\cal A}}(f^{-1}) = \left(M_{{\cal A}}^{\cal B}}(f) \right)^{-1}$,
d.h. man kriegt die Matrixdarstellung der inversen Abbildung einfach durch Invertierung der Matrixdarstellung der ursprünglichen Abbildung, wenn man die Basen beibehält.
Und so könnte man euer Verfahren auch beschreiben... 
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:55 Mi 09.03.2005 | | Autor: | cherio_2 |
Hi Julius,
dank dir für die ausführliche erklärung und wahrscheinlich magst du es dir gar nicht vorstellen können,aber mein kopf blockiert bei diesem thema einfach :(
ich hätte also noch ein paar fragen zu deiner antwort: >
>
> Will man nun umgekehrt die Matrixdarstellung der durch
>
> [mm]g(v_1)=e_1[/mm],
> [mm]g(v_2)=e_2[/mm],
> [mm]g(v_3)=e_3[/mm]
>
> festgelegten linearen Abbildung bezüglich der Standardbasis
> bestimmen, so wird es schwieriger, denn man bräuchte ja die
> Koordinaten der Bilder [mm]g(e_i)[/mm], hat aber nur die von [mm]g(v_i)[/mm].
> Was man aber jetzt machen könnte, wäre Folgendes:
>
>
> Stelle die [mm]e_i[/mm] als Linearkombination der [mm]v_i[/mm] dar, d.h. löse
> ein lineares Gleichungssystem. Dann steht in der Spalten
> der Darstellungsmatrix einfach die gleiche
> Linearkombination der Koordinatenvektoren der Bilder der
> [mm]v_i[/mm]!
>
Warum kann ich es nicht einfach so betrachten,wie bei der bestimmung von L.
D.h. : g(v1)= [mm] e1=e_{11}*v_{1} [/mm] + [mm] e_{21}*v_{2} [/mm] + [mm] e_{31}*v_{3} [/mm] ?
Wann sehe ich welche der beiden angegebenen Basen die Koordinaten der Bilder angeben.Aus welcher Aufgabenstellung wird das ersichtlich ?
Gesetz des Falles ich hätte eine Basis (v1,v2,v3) die nicht der Standardbasis entspricht und eine andere Basis (w1,w2,w3,w4) und ich will jetzt das gleiche machen,wie bei der aufgabe,also
v [mm] \to [/mm] w
[mm] w\to [/mm] v
geht das überhaupt ?
Und was ist wenn ich einen Vektor x = [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3} [/mm] habe,den ich abbilden möchte und zwar v [mm] \to [/mm] w.
bilde ich dann zuerst v auf x ab und nehme dann das Bild und bilde es auf w ab ?
und was wäre,wenn mir der vektor gleich als bild gegeben wäre z.b.
T(x)= [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4} [/mm] .kann ich daraus das Bild für [mm] v_{i} [/mm] berechnen ?
fragen über fragen und so langsam zweifle ich an meinem verstand....
riesen dankeschön schon mal im voraus
liebe grüße
nadine
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Di 15.03.2005 | | Autor: | Julius |
Liebe Nadine!
> > Will man nun umgekehrt die Matrixdarstellung der durch
> >
> > [mm]g(v_1)=e_1[/mm],
> > [mm]g(v_2)=e_2[/mm],
> > [mm]g(v_3)=e_3[/mm]
> >
> > festgelegten linearen Abbildung bezüglich der
> Standardbasis
> > bestimmen, so wird es schwieriger, denn man bräuchte ja
> die
> > Koordinaten der Bilder [mm]g(e_i)[/mm], hat aber nur die von
> [mm]g(v_i)[/mm].
> > Was man aber jetzt machen könnte, wäre Folgendes:
> >
> >
> > Stelle die [mm]e_i[/mm] als Linearkombination der [mm]v_i[/mm] dar, d.h.
> löse
> > ein lineares Gleichungssystem. Dann steht in der Spalten
>
> > der Darstellungsmatrix einfach die gleiche
> > Linearkombination der Koordinatenvektoren der Bilder der
>
> > [mm]v_i[/mm]!
> >
>
> Warum kann ich es nicht einfach so betrachten,wie bei der
> bestimmung von L.
> D.h. : g(v1)= [mm]e1=e_{11}*v_{1}[/mm] + [mm]e_{21}*v_{2}[/mm] +
> [mm]e_{31}*v_{3}[/mm] ?
Weil du ja die Matrix bezüglich der Standardbasis darstellen sollst. Dazu brauchst du die [mm] $g(e_i)$. [/mm] Diese hast du aber nicht. Du hast nur die [mm] $g(v_i)$.
[/mm]
> Wann sehe ich welche der beiden angegebenen Basen die
> Koordinaten der Bilder angeben.Aus welcher Aufgabenstellung
> wird das ersichtlich ?
Ich verstehe die Frage nicht. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
> Gesetz des Falles ich hätte eine Basis (v1,v2,v3) die
> nicht der Standardbasis entspricht und eine andere Basis
> (w1,w2,w3,w4) und ich will jetzt das gleiche machen,wie bei
> der aufgabe,also
> v [mm]\to[/mm] w
> [mm]w\to[/mm] v
>
> geht das überhaupt ?
Das kommt darauf an! Wenn du die Matrix der durch $v [mm] \to [/mm] w$ gegebenen Abbildung bezüglich der Basis [mm] $(v_1,v_2,v_3)$ [/mm] darstellen sollst, geht es wie obe. Bei der Abbildung $w [mm] \to [/mm] v$ ist es dann wieder problematisch. Dies ist nur dann einfach, wenn du sie bezüglich der Basis [mm] $(w_1,w_2,w_3)$ [/mm] darstellen sollst.
Was du kennen musst, sind immer die Bilder der Basisvektoren, bezüglich derer du die lineare Abbildung als (Abbildungs-)Matrix schreiben willst.
> Und was ist wenn ich einen Vektor x = [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
> habe,den ich abbilden möchte und zwar v [mm]\to[/mm] w.
> bilde ich dann zuerst v auf x ab und nehme dann das Bild
> und bilde es auf w ab ?
Nein, du stellst $x$ als Linearkombination der Basis dar. Das Ergebnis ist dann die gleiche Linearkombination, nur jetzt mit den Bildern der Basisvektoren.
Immer die Ruhe behalten. Kaufe dir mal am besten das LA-Buch von Beutelspacher (oder leihe es dir aus), das ist genau das Richtige für deine Situation. Dort wird das alles sehr gut und ausführlich erklärt.
Liebe Grüße
Julius
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