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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:34 Fr 26.01.2007 | | Autor: | PixCell |
| Aufgabe | Es sei A [mm] \in Hom(\IR^{3}) [/mm] (die Menge der linearen Abbildungen des [mm] \IR^{3}). [/mm] Beweisen oder widerlegen Sie folgende Aussage.
Ist A(1,-1,-1) = (4,-1, 3), so gilt A(-2, 4, 2) = (8,-2,-6) und A( [mm] \bruch{3}{14}, -\bruch{3}{7}, -\bruch{3}{14} [/mm] ) = (4,-1, 3).
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Hallo zusammen,
kann mir evtl. jemand einen Tipp geben, wie ich an diese Aufgabe rangehen kann? Ich habe nämlich ehrlich gesagt noch nicht mal so wirklich verstanden, was die obige Schreibweise eigentlich ausdrücken will.
Da ich noch weitere Aufgaben dieser Art zu bearbeiten habe, wäre ich froh, wenn mir jemand vielleicht einen Ansatz liefern könnte.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank bereits im Vorraus für Eure Mühe.
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Nun, mit "linear" ist doch schonmal ein guter Ansatz!
Außerdem kann man
A ist die Abbildung, also z.B. eine Matrix, die mit dem dahinterstehenden Vektor multipliziert wird.
Also schreiben wir mal so:
[mm] $A\vektor{1\\-1\\ -1} [/mm] = [mm] \vektor{4\\-1\\ 3}$
[/mm]
[mm] $A\vektor{-2\\4\\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{8\\-2\\ -6}$
[/mm]
[mm] $A\vektor{ \bruch{3}{14}\\-\bruch{3}{7}\\ -\bruch{3}{14} }= \vektor{4\\-1\\ 3}$ [/mm]
Und jetzt kannst du zwischen den drei Gleichungen nach belieben irgendwelche Bedingungen für Lineare Abbildungen prüfen.
Es gilt z.B. auch: [mm] $A(\vec [/mm] b+ [mm] \vec [/mm] c)= [mm] A\vec [/mm] b + A [mm] \vec [/mm] c$ und : [mm] $A(\vec 0)=\vec [/mm] 0$
Subtrahieren wir doch mal erste und letzte Gleichung:
[mm] $A\vektor{1\\-1\\ -1}-A\vektor{ \bruch{3}{14}\\-\bruch{3}{7}\\ -\bruch{3}{14} } [/mm] = [mm] \vektor{4\\-1\\ 3}-\vektor{4\\-1\\ 3}=\vec [/mm] 0$
Rechnen wir den linken Ausdruck noch etwas weiter:
[mm] $A\vektor{1\\-1\\ -1}-A\vektor{ \bruch{3}{14}\\-\bruch{3}{7}\\ -\bruch{3}{14} }=A\left( \vektor{1\\-1\\ -1}-\vektor{ \bruch{3}{14}\\-\bruch{3}{7}\\ -\bruch{3}{14} }\right)\neq A(\vec [/mm] 0) [mm] =\vec [/mm] 0$
Das heißt, zwischen der ersten und letzten Gleichung gibt es einen Widerspruch!
Damit ist die Aussage schon wider legt, denn aus der ersten Gleichung sollen beide anderen hervorgehen, aber die letzte macht ja schon einen Widerspruch.
Ich sehe im Übrigen keinen Widerspruch zwischen der ersten und zweiten, aber zwischen den letzten beiden: Multipliziere die zweite mal mit -3/14 durch, dann steht links in beiden Gleichungen das gleiche, rechts aber nicht!
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