Lineare Abbildung zeigen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:27 So 24.01.2010 | | Autor: | egal |
Hola,
Mein zeige, dass
φ: [mm] \IR^2 ->\IR [/mm] mit φ: [mm] v->a^T [/mm] v mit [mm] a=\pmat{ 1 \\ 0 }
[/mm]
eine lineare Abbildung ist.
Wir hatten das in der Vorlesung nur angekrazt, sind jedoch nicht weiter drauf eingegangen.
Es gilt doch:
[mm] f(λ_1*v+λ_2*a^T)=λ_1*f(v)+λ_2*f(a^T)
[/mm]
was soll ich denn hier genau noch zusätzlich zeigen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:45 So 24.01.2010 | | Autor: | Harris |
Nun ja... "Lineare Abbildung" heißt eigentlich: f(x+y) = f(x) + f(y), also dass es egal ist, ob die Vektoren erst zusammengezählt werden und dann mittels f ausgewertet werden, oder beide erst ausgewertet, und dann das Ergebnis zusammengezählt wird.
Und weiter: f(ax)=a*f(x), wobei hier natürlich x ein Vektor ist und a ein Skalar.
Beide Bedingungen lassen sich zu einer zusammenfassen:
f linear [mm] \gdw f(\lambda \cdot [/mm] x + [mm] \mu \cdot [/mm] y) = [mm] \lambda [/mm] f(x) + [mm] \mu [/mm] f(y).
Bei dir ist nun folgender Sachverhalt:
f(v) = [mm] a^{t}\cdot [/mm] v = [mm] (a_1, a_2)\cdot \vektor{v_1 \\ v_2} [/mm] = (1, [mm] 0)\cdot \vektor{v_1 \\ v_2} [/mm] = [mm] v_1
[/mm]
Die Funktion bildet somit einen Vektor auf dessen erster Komponente ab.
Dies ist linear, da
[mm] f(x+y)=x_1 [/mm] + [mm] y_1 [/mm] = f(x) + f(y)
und offensichtlich auch:
[mm] f(\lambda [/mm] x) = [mm] \lambda x_1 [/mm] = [mm] \lambda [/mm] f(x)
Diese Funktion beschreibt übrigens die Projektion auf die erste Komponente. Spätestens am Ende des Semesters wirst du sie wiedersehen (allerdings nicht mehr ganz so trivial ;) )! Also freunde dich mit ihr an
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 So 24.01.2010 | | Autor: | egal |
also hab ichs richtig verstanden:
vorher galt ja:
φ [mm] :\IR^2 ->\IR [/mm] φ: [mm] v->a^T [/mm] v
durch a^Tv weiß ich, dass φ einem Element von v jeweils ein Element von [mm] v_1 [/mm] zuordnet.
Linear ist es deshalb, weil
$ [mm] f(v+v_1)=v [/mm] $ + $ [mm] v_1 [/mm] $ = f(v) + [mm] f(v_1) [/mm]
hab ichs richtig aufgenommen?
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Hallo egal,
so, wie es dasteht, ist es leider falsch (bzw.: drückt nichts darüber aus, ob du's verstanden hast oder nicht; Grund u.a.: die Notation!).
> vorher galt ja:
>
> φ [mm]:\IR^2 ->\IR[/mm] φ: [mm]v->a^T[/mm] v
>
> durch a^Tv weiß ich, dass φ einem Element von v jeweils
> ein Element von [mm]v_1[/mm] zuordnet.
Was heißt "vorher"? Es gilt immer noch dasselbe wie oben. Nur hat die Harris in seinem Post klarzumachen versucht, dass die Abbildung oben eigentlich dieselbe ist wie:
[mm] f:\vektor{v_1 \\ v_2} \to (v_{1})
[/mm]
D.h. es wird praktisch jedem Vektor seine erste Komponente zugeordnet. Nun kannst du mit den Beweisen beginnen:
[mm] v=\vektor{v_1\\v_2},w [/mm] = [mm] \vektor{w_1\\w_2}\in IR^{2}.
[/mm]
$f(v+w) = [mm] f(\vektor{v_1+w_1\\v_2+w_2}) [/mm] = [mm] (v_1+w_1) [/mm] = [mm] (v_1)+(w_1) [/mm] =f(v)+f(w)$
Ist dir der Beweis klar?
Dann mach' du den für [mm] $f(\lambda*v) [/mm] = [mm] \lambda*f(v)$, [/mm] der auch noch benötigt wird, um zu zeigen, dass f eine lineare Abbildung ist.
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 So 24.01.2010 | | Autor: | egal |
hi,
ja, ich habs auf jeden fall so verstanden, nur falsch wiedergegeben.
soll also heißen:
[mm] f:v->a^T [/mm] $ v ist genau dasselbe wie $ [mm] f:\vektor{v_1 \\ v_2} \to (v_{1}) [/mm] $
Beweis, dass es linear ist:
1. f(lambda [mm] v)=\pmat{ lambda*v_1 \\ lambda*v_2 }=lambda*f(v)
[/mm]
so müsste es sein, stimmts?
das v ist doch der vektor v
von hier: [mm] f:v->a^T [/mm] *v
richtig?
was ist aber "w" jetzt in deinem schritt des beweises? und wo ist der vektor [mm] v_1 [/mm] geblieben, der aus [mm] a^T [/mm] *v resultiert?, da kann ich iwie keine zusammenhänge sehen
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Hallo,
> hi,
>
> ja, ich habs auf jeden fall so verstanden, nur falsch
> wiedergegeben.
>
> soll also heißen:
>
> [mm]f:v->a^T[/mm] $ v ist genau dasselbe wie $ [mm]f:\vektor{v_1 \\ v_2} \to (v_{1})[/mm]
> $
>
> Beweis, dass es linear ist:
>
> 1. f(lambda [mm]v)=\pmat{ lambda*v_1 \\ lambda*v_2 }=lambda*f(v)[/mm]
>
> so müsste es sein, stimmts?
Nein. [mm] f(v)\in\IR, [/mm] bei dir ist aber in der Mitte ein Element von [mm] \IR^{2}.
[/mm]
Außerdem sind mir das zu wenige Zwischenschritte.
Schreibe:
[mm] $f(\lambda*v) [/mm] = [mm] f(\lambda*\vektor{v_1\\v_2}) [/mm] = [mm] f(\vektor{\lambda*v_1\\ \lambda*v_2}) [/mm] = [mm] (\lambda*v_1) [/mm] = [mm] \lambda*(v_1) [/mm] = [mm] \lambda*f(v)$
[/mm]
> das v ist doch der vektor v
> von hier: [mm]f:v->a^T[/mm] *v
>
> richtig?
Ich denke schon (Bin mir etwas unsicher, was du genau eigentlich wissen willst).
> was ist aber "w" jetzt in deinem schritt des beweises? und
> wo ist der vektor [mm]v_1[/mm] geblieben, der aus [mm]a^T[/mm] *v
> resultiert?, da kann ich iwie keine zusammenhänge sehen
Damit f linear ist, muss zweierlei gelten!
1.) f(v+w) = f(v)+f(w) für alle Vektoren v,w
2.) [mm] f(\lambda*v) [/mm] = [mm] \lambda*f(v) [/mm] für alle Vektoren v und alle Skalare [mm] \lambda
[/mm]
Oben haben wir 2.) erledigt. Und ich habe 1.) in meinem vorherigen Post erledigt. Schau dir meinen Beweis in diesem Zusammenhang nochmal an!
Grüße,
Stefan
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