Lineare Abbildung von V->R^R < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:19 Di 01.12.2009 | | Autor: | matt101 |
| Aufgabe | Seinen
[mm] f_{1}:=1, [/mm]
[mm] f_{2}:= cos^{2}(x), [/mm]
[mm] f_{3}:=sin^{2}(x), [/mm]
[mm] f_{4}:=sin^{2}(2x), f_{5}:=cos(x), f_{6}:=cos(2x), f_{7}:=cos(3x), f_{8}:=cos(4x)
[/mm]
Seien [mm] V:= [/mm] der von [mm] f_{1} [/mm] bis [mm] f_{8} [/mm] erzeugte Unterraum von [mm] \IR^{\IR} [/mm] über dem Körper [mm] \IR [/mm] und [mm] \gamma: [/mm] V [mm] \to \IR^{\IR} [/mm] eine lineare Abbildung von V nach [mm] \IR^{\IR}. [/mm] Welche der folgenden Fälle sind möglich, welche sind nicht möglich? Wenn ein Fall möglich ist, berechnen Sie die Dimension von [mm] Kern(\gamma). [/mm] Beweisen Sie bitte Ihre Behauptung auch dann, wenn Sie einen Fall als unmöglich beurteilen.
1. [mm] \gamma(f_{1})=f_{1}, \gamma(f_{2})=f_{3}, \gamma(f_{3})=f_{2},
[/mm]
[mm] \gamma(f_{4})=f_{7}+ \bruch{3}{4} f_{2}, \gamma(f_{5})=f_{6},
[/mm]
[mm] \gamma(f_{6})=f_{1} [/mm] - [mm] 2f_{2}, \gamma(f_{7})=f_{1} [/mm] + [mm] f_{2} [/mm] - [mm] 4f_{3}
[/mm]
[mm] \gamma(f_{8})=f_{3} [/mm] - [mm] 2f_{7} [/mm] |
Kann mir jemand EIN Bsp geben was ich hier machen muss, und wie ich das machen kann. Ich habe nie dimensionen von kernen berechnet.
Vielen Dank.
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> Seinen
> [mm]f_{1}:=1,[/mm]
> [mm]f_{2}:= cos^{2}(x),[/mm]
> [mm]f_{3}:=sin^{2}(x),[/mm]
> [mm]f_{4}:=sin^{2}(2x), f_{5}:=cos(x), f_{6}:=cos(2x), f_{7}:=cos(3x), f_{8}:=cos(4x)[/mm]
>
> Seien
> [mm]V:=[/mm]
Hallo,
such erstmal eine Basis dieses Raumes.
> der von [mm]f_{1}[/mm] bis [mm]f_{8}[/mm] erzeugte Unterraum von [mm]\IR^{\IR}[/mm]
> über dem Körper [mm]\IR[/mm] und [mm]\gamma:[/mm] V [mm]\to \IR^{\IR}[/mm] eine
> lineare Abbildung von V nach [mm]\IR^{\IR}.[/mm] Welche der
> folgenden Fälle sind möglich, welche sind nicht möglich?
Es gilt.
lineare Abbildungen sind durch die Angabe ihrer Werte auf einer Basis eindeutig bestimmt.
Bei der Zuweisung der Funktionswerte zu den Basisvektoren kann also überhaupt nichts schieflaufen.
Gucken mußt Du aber, ob nun die Zuweisungen der Funktionswerte der Nichtbasisvektoren sich mit der Linearität der Abbildung verträgt.
> Wenn ein Fall möglich ist, berechnen Sie die Dimension von
> [mm]Kern(\gamma).[/mm]
Mal angenoomen, ich habe einen Funktionenraum F=< f,g,h> aufgespant wird.
Den Kern einer linearen abbildung [mm] \alpha: F\to [/mm] F berechne ich dann, indem ich feststelle, für welche Funktionen k:=af+bg+ch gilt: F(k)=Nullfunktion.
Gruß v. Angela
Beweisen Sie bitte Ihre Behauptung auch dann,
> wenn Sie einen Fall als unmöglich beurteilen.
>
> 1. [mm]\gamma(f_{1})=f_{1}, \gamma(f_{2})=f_{3}, \gamma(f_{3})=f_{2},[/mm]
>
> [mm]\gamma(f_{4})=f_{7}+ \bruch{3}{4} f_{2}, \gamma(f_{5})=f_{6},[/mm]
>
> [mm]\gamma(f_{6})=f_{1}[/mm] - [mm]2f_{2}, \gamma(f_{7})=f_{1}[/mm] +
> [mm]f_{2}[/mm] - [mm]4f_{3}[/mm]
> [mm]\gamma(f_{8})=f_{3}[/mm] - [mm]2f_{7}[/mm]
> Kann mir jemand EIN Bsp geben was ich hier machen muss,
> und wie ich das machen kann. Ich habe nie dimensionen von
> kernen berechnet.
>
>
> Vielen Dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Di 01.12.2009 | | Autor: | matt101 |
Ich weiß dass die Basis ein Erzeugendensys und linear unabhängig ist.
da
[mm] 1=cos^{2}(x)+sin^{2}(x) [/mm]
[mm] 2sin^{2}(2x) [/mm] =1-cos(2x)
Ist die Basis von V dann : [mm] cos^{2}(xn), sinx^{2}(xn) [/mm] 0<n<5?? (weil ich alle in diesen umschreiben kann)
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> Ist die Basis von V dann : [mm]cos^{2}(xn), sinx^{2}(xn)[/mm]
> 0<n<5?? (weil ich alle in diesen umschreiben kann)
Hallo,
dann wäre die Dimeension des aufgespanntenRaumes =8.
Aber Du zeigst unten ja selbst, daß die 8 Funktionen [mm] f_1,...,f_8 [/mm] nicht linear unabhängig sind, daß also die Dimension von V kleiner als 8 ist.
Also kann das, was Du sagst, keine Basis sein.
> Ich weiß dass die Basis ein Erzeugendensys und linear
> unabhängig ist.
Ja, und außerdem solltest Du wissen, daß man in jedem Erzeugendensystem eine Basis findet.
Du kannst Dich also dranmachen, [mm] f_1,...,f_8 [/mm] soweit zu reduzieren, bis Du ein linear unabhängiges Erzeugendensystem hast.
> da
> [mm]1=cos^{2}(x)+sin^{2}(x)[/mm]
Also ist [mm] sin^2(x) [/mm] verzichtbar, da diese Funktion als Linearkombi von 1 und [mm] cos^2(x) [/mm] dargestellt werden kann.
Bleiben
$ [mm] f_{1}:=1, [/mm] $
$ [mm] f_{2}:= cos^{2}(x), [/mm] $
$ [mm] f_{4}:=sin^{2}(2x), f_{5}:=cos(x), f_{6}:=cos(2x), f_{7}:=cos(3x), f_{8}:=cos(4x) [/mm] $
> [mm]2sin^{2}(2x)[/mm] =1-cos(2x)
Also ist [mm] sin^2(2x) [/mm] verzichtbar.
Bleiben
$ [mm] f_{1}:=1, [/mm] $
$ [mm] f_{2}:= cos^{2}(x), [/mm] $
$ [mm] f_{5}:=cos(x), f_{6}:=cos(2x), f_{7}:=cos(3x), f_{8}:=cos(4x) [/mm] $
Weiter gilt
[mm] \cos [/mm] (2x)= \ 2 [mm] \cos^2 [/mm] x - 1
Also kann [mm] cos^2(x) [/mm] raus.
Bleiben
$ [mm] f_{1}:=1
[/mm]
$ [mm] f_{5}:=cos(x), f_{6}:=cos(2x), f_{7}:=cos(3x), f_{8}:=cos(4x) [/mm] $
Diese 5 Vektoren würde ich der linearen Unabhängigkeit verdächtigen.
Ob sie's wirklich sind, wäre nun zu zeigen.
Gruß v. Angela
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