Lineare Abbildung oder nicht? < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:29 Sa 08.12.2012 | | Autor: | MrPan |
| Aufgabe | | Ist, [mm] f:\IR^3\to\IR^3 [/mm] mit f(0,1,0)=(4,2,0), f(0,3,2)=(4,0,5), f(3,0,2)=(8,6,4) eine Lineare Abbildung? Falls ja bestimmen sie f(x,y,z) |
Hallo,
mir fehlt irgendwie der richtige Ansatz um diese Aufgabe zu lösen.
Mein erster Versuch war die Funktionsvorschrift zu erstellen, aber der wohl falsch.
Wenn ich weiß das es eine Lineare Abbildung ist kann man doch sagen,(Abbildungsmatrix)
[mm] \pmat{ 4 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 6 \\ 0 & 5 & 4}*\vektor{x \\ y\\z} [/mm] = M
wenn man davon ausgeht das das die drei vektoren x der Urbildmenge linear unabhänig sind oder?
Meine Frage ist kann man daraus auch errechen ob es eine Lin. Abbildung ist und die Funktionsvorschrift ablesen? oder lieg ich mit meinem Ansatz falsch?
Danke für eure Hilfe!
Gruß mike
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:39 Sa 08.12.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ist, [mm]f:\IR^3\to\IR^3[/mm] mit f(0,1,0)=(4,2,0),
> f(0,3,2)=(4,0,5), f(3,0,2)=(8,6,4) eine Lineare Abbildung?
> Falls ja bestimmen sie f(x,y,z)
> Hallo,
>
> mir fehlt irgendwie der richtige Ansatz um diese Aufgabe zu
> lösen.
>
> Mein erster Versuch war die Funktionsvorschrift zu
> erstellen, aber der wohl falsch.
>
> Wenn ich weiß das es eine Lineare Abbildung ist kann man
> doch sagen,(Abbildungsmatrix)
>
> [mm]\pmat{ 4 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 6 \\ 0 & 5 & 4}*\vektor{x \\ y\\z}[/mm] = M
>
> wenn man davon ausgeht das das die drei vektoren x der
> Urbildmenge linear unabhänig sind oder?
denke mal drüber nach, bzgl. welcher Basen Du hier eine Abbildungsmatrix
erstellt hast. (Der Vektor [mm] $\vektor{x\\y\\z}$ [/mm] wäre hier nicht bzgl. der
Standardbasis des [mm] $\IR^3$ [/mm] aufzufassen...)
> Meine Frage ist kann man daraus auch errechen ob es eine
> Lin. Abbildung ist und die Funktionsvorschrift ablesen?
> oder lieg ich mit meinem Ansatz falsch?
Mal nebenbei: Die Formulierung der Aufgabe
> Ist, [mm]f:\IR^3\to\IR^3[/mm] mit f(0,1,0)=(4,2,0),
> f(0,3,2)=(4,0,5), f(3,0,2)=(8,6,4) eine Lineare Abbildung?
ist total unsinnig:
Ich kann eine Funktion [mm] $f\,$ [/mm] wie oben ja auf [mm] $\IR^3 \setminus \{(0,1,0)^T,\;(0,3,2)^T,\;(3,0,2)^T\}$
[/mm]
ja definieren, wie ich will, ohne, dass dieses [mm] $f\,$ [/mm] dann linear sein muss.
Die Frage ist eher:
Ist es möglich, eine lineare Abbildung [mm]f:\IR^3\to\IR^3[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
mit
f(0,1,0)=(4,2,0)^T, und f(0,3,2)=(4,0,5)^T, f(3,0,2)=(8,6,4)^T anzugeben?
(Es ist sowieso schon ein wenig "unschön", dass man hier wortlos den
$\IR^3$ auch mit dem $\IR^{1 \times 3}$ identifiziert... bzw. man
identifiziert hier - ohne es zu sagen: $\IR^3$ mit $\IR^{3 \times 1}$
und auch mit $\IR^{1 \times 3}$...)
(Und die nächste Frage wäre dann: Wenn es solch' eine gibt, gibt's dann
nur eine, oder auch mehrere solcher linearer Abbildungen?)
Du kannst so vorgehen:
Du willst, mit einer Matrix $A \in \IR^{3 \times 3}$
$$f((x,y,z)):=A*\vektor{x\\y\\z}$$
schreiben, wobei $A*\vektor{x\\y\\z}=:w\in \IR^3$ bzgl. der Standardbasis des $\IR^3$
und auch $\vektor{x\\y\\z}$ bzgl. der Standardbasis $\{e_1^{(3)},e_2^{(3)},e_3^{(3)}\}$ (die Vektoren werden unten
nochmal beschrieben) des $\IR^3$ gemeint ist.
Anders gesagt: Oben enthält in dem Teil "$A*\vektor{x\\y\\z}$" der
Vektor $\vektor{x\\y\\z}$ 'die Koordinaten bzgl. der Standardbasis des
Definitionsbereichs'. Und im Ergebnisvektor $w:=\vektor{w_1\\w_2\\w_3}:=A*\vektor{x\\y\\z}$
enthält der Vektor $w\,$ auch die Koordinaten bzgl. der Standardbasis des
Zielbereichs!
Nun schreibe jeweils
$$e_1^{(3)}:=\vektor{1\\0\\0}$$
$$e_2^{(3)}:=\vektor{0\\1\\0}$$
$$e_3^{(3)}:=\vektor{0\\0\\1}$$
als Linearkombination von
$$a:=\vektor{0\\3\\2}$$
$$b:=e_2^{(3)}$$
$$c:=\vektor{3\\0\\2}\,.$$
P.S. Überlege Dir, dass $\{a,b,c\}$ eine linear unabhängige Teilmenge des $\IR^3$ ist -
insbesondere spannen also $a,b,c\,$ den $\IR^3$ auf. Die
Linearkombinationen von $e_j^{(3)}$ ($j=1,2,3$) sind also auch eindeutig
bestimmt.
P.P.S. Ein anderes Beispiel: Wir fragen uns, ob es eine Abbildung $g: \IR^2 \to \IR^3$
gibt, die folgendes erfüllt:
$g\,$ soll linear sein, und es soll gelten:
$$g((1,0))=\vektor{1\\0\\0}\,, g((2,1))=\vektor{2\\0\\0}, g((1,1))=\vektor{3\\0\\0}\,.$$
Nehmen wir an, solch' eine gäb's:
Dann gibt's eine Matrix $A=A_g \in \IR^{3 \times 2}$ so, dass
$$g(x_1,x_2)=A*\vektor{x_1\\x_2}$$
für alle $x_1,x_2 \in \IR\,.$
Hierbei sei $A=A_g$ "die zu $g\,$ gehörige Matrix bzgl. der Standardbasis
$\{e_1^{(2)},e_2^{(2)}\}$ des Definition(Vektorraum)sbereichs $\IR^2$ von $g\,$
und bzgl. der Standardbasis $\{e_1^{(3)},\,e_2^{(3)},\,e_3^{(3)}\}$
des Zielbereich(Vektorraum)s $\IR^3$ von $g\,.$
Man kann das folgende auch anders aufbauen, aber ich mach's nun mit
der Matrixdarstellung:
Die Matrix $A\,$ muss dann so aufgebaut sein:
$$A=(g(e_1^{(2)}),g(e_2^{(2)}))\,.$$
(Aus welchem Satz folgt das? Bzw. habt ihr das entsprechende Wissen
dafür bereits zur Verfügung: Es gibt ja sowas wie eine Matrixdarstellung
für lineare Abbildung zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen. Diese
hängt sowohl von der Wahl der Basis des "Definitionsbereichs - welcher
ja ein Vektorraum ist - und auch von der Wahl der Basis des Zielbereichs -
welcher ein Vektorraum ist, ab!" Habt ihr derartiges Wissen schon zur
Verfügung?)
$g(e_1^{(2)})=g((1,0))=\red{\vektor{1\\0\\0}}$ können wir verwerten. Aber
was müssen wir für $g(e_2^{(2)})$ schreiben?
Nun, es ist etwa $g((0,1))=g((1,1)-(1,0))\,,$ und wenn $g\,$ doch linear ist,
muss
$$g((1,1)-(1,0))=g((1,1))-g((1,0))=\vektor{3\\0\\0}-\vektor{1\\0\\0}}$$
gelten. Also kann nur
$$A=A_g=\pmat{\red{1} & 2 \\\red{0} & 0\\\red{0} & 0}$$
sein.
Dann ist aber $g((2,1))=A*\vektor{2\\1}=\pmat{\red{1} & 2 \\\red{0} & 0\\\red{0} & 0}*\vektor{2\\1}\,.$
Gilt denn nun auch
$$A*\vektor{2\\1}=\vektor{2\\0\\0}\,,$$
was ja gefordert war?
Was bedeutet das für die Existenz eines solchen $g\,$'s?
Zusatz-P.P.S.:
Jede Abbildung $\IR^n \ni x \mapsto A*x \in \IR^m\,,$ wobei also
$A \in \IR^{m \times n}$ eine feste Matrix sei, ist linear. Generell kannst
Du das alles auch ein wenig allgemeiner in "Bosch, Lineare Algebra"
im Kapitel 3 über Matrizen nachlesen (insbesondere ab 3.1). Oder googel
mal nach sowas wie "Lineare Abbildungen und Matrizen" oder auch
"Basisübergangsmatrix" oder "Basiswechselmatrix", themenmäßig sollte
das auch passen...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 05:47 So 09.12.2012 | | Autor: | MrPan |
Hi Marcel,
danke für deine ausführliche Antwort, ich denke ich habe noch gewisse Wissenslücken, ich werde mal das ensprechende in dem von dir genannten Buch nachlesen, bevor ich mich wieder der Aufgabe beschäftige.
Gruß Mike
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