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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:41 So 07.11.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 2.1.
Seien [mm] $v_{1}=\vektor{1\\2}$ [/mm] und [mm] $v_{2}= \vektor{-2\\1}$. [/mm] Die lineare Abbildung [mm] $L:\IR^{2}$ [/mm] ist definiert durch die Vorschrift [mm] $L(v_{1})=v_{1}$ [/mm] und [mm] $L(v_{2})=v_{2}+a\cdot v_{1}$, [/mm] wobei $a>0$ eine fest gewählte reelle Zahl sei.
a) Wie lautet die Matrix von $L$ bezogen auf die Basis [mm] ($v_{1},v_{2}$) [/mm] von [mm] $\IR^{2}$. [/mm] Durch welche Matrix wird $L$ bezogen auf die kanonische Basis von [mm] $\IR^{2}$ [/mm] beschrieben?
b) Skizzieren Sie die Wirkung von $L$ auf das Rechteck in [mm] \IR^{2}, [/mm] erzeugt von den Vektoren [mm] $v_{1}$ [/mm] und [mm] $v_{2}$. [/mm] Wie wirkt die Abbildung auf die Ebene? |
Hallo,
Bei a)
Die Matrix durch einsetzen von [mm] $v_{1}, v_{2}$ [/mm] in die Abbildungsvorschrift:
[mm] $\vektor{1& -2+a\\ 2 & 1 + 2a}$
[/mm]
Für die kanonische Basis [mm] $e_{1}=\vektor{1\\0}, e_{2}=\vektor{0\\1}$ [/mm]
[mm] $\vektor{1& a \\ 0 & 1 }$
[/mm]
b) [Dateianhang nicht öffentlich]
Sieht nach einer Drehstreckung aus... Die Ebene wird also auch gehdrehstreckt...
Stimmen meine Lösungen?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:45 So 07.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin.
> 2.1.
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> Seien [mm]v_{1}=\vektor{1\\2}[/mm] und [mm]v_{2}= \vektor{-2\\1}[/mm]. Die
> lineare Abbildung [mm]L:\IR^{2}[/mm] ist definiert durch die
> Vorschrift [mm]L(v_{1})=v_{1}[/mm] und [mm]L(v_{2})=v_{2}+a\cdot v_{1}[/mm],
> wobei [mm]a>0[/mm] eine fest gewählte reelle Zahl sei.
>
> a) Wie lautet die Matrix von [mm]L[/mm] bezogen auf die Basis
> ([mm]v_{1},v_{2}[/mm]) von [mm]\IR^{2}[/mm]. Durch welche Matrix wird [mm]L[/mm]
> bezogen auf die kanonische Basis von [mm]\IR^{2}[/mm] beschrieben?
>
> b) Skizzieren Sie die Wirkung von [mm]L[/mm] auf das Rechteck in
> [mm]\IR^{2},[/mm] erzeugt von den Vektoren [mm]v_{1}[/mm] und [mm]v_{2}[/mm]. Wie
> wirkt die Abbildung auf die Ebene?
>
>
> Hallo,
>
> Bei a)
>
> Die Matrix durch einsetzen von [mm]v_{1}, v_{2}[/mm] in die
> Abbildungsvorschrift:
> [mm]\vektor{1& -2+a\\ 2 & 1 + 2a}[/mm]
>
> Für die kanonische Basis [mm]e_{1}=\vektor{1\\0}, e_{2}=\vektor{0\\1}[/mm]
Das ist also die Matriz bzgl. der Basis [mm] $(e_1, e_2)$.
[/mm]
Du sollst aber die bzgl. der Basis [mm] $(v_1, v_2)$ [/mm] angeben. Und das ist die Folgende:
> [mm]\vektor{1& a \\ 0 & 1 }[/mm]
>
> b) [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Sieht nach einer Drehstreckung aus... Die Ebene wird also
> auch gehdrehstreckt...
Das ist keine Drehstreckung. Schau doch mal genau hin. Verschiedene Richtungen werden verschieden stark gestreckt.
Das, was gemacht wird, faengt mit "Sch" an.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:01 So 07.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Hallo und danke felix,
> Du sollst aber die bzgl. der Basis [mm] ($v_{1},v_{2}$) [/mm] angeben. Und das ist die > > Folgende:
Ich verstehe nicht: Die Abbildung der Basis [mm] ($v_{1},v_{2}$) [/mm] ist nicht [mm] $(v_{1},v_{2})$ [/mm] eingesetzt in L aber die kanonische Basis eingesetzt in L?
Dann wurde quasi zwei Mal dasselbe gefragt in der Aufgabe, oder?
> Das, was gemacht wird, faengt mit "Sch" an.
Scherstreckung!?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Mo 08.11.2010 | | Autor: | meili |
Hallo kushkush,
> Hallo und danke felix,
>
> > Du sollst aber die bzgl. der Basis ([mm]v_{1},v_{2}[/mm]) angeben.
> Und das ist die > > Folgende:
>
>
> Ich verstehe nicht: Die Abbildung der Basis ([mm]v_{1},v_{2}[/mm])
> ist nicht [mm](v_{1},v_{2})[/mm] eingesetzt in L aber die kanonische
> Basis eingesetzt in L?
>
> Dann wurde quasi zwei Mal dasselbe gefragt in der Aufgabe,
> oder?
Nein.
Es geht um eine Abbildung L: [mm] $\IR^2 \to \IR^2$.
[/mm]
Nun wird die Matrix zu L gesucht, einmal bezogen auf die Basis ([mm]v_{1},v_{2}[/mm])
(genauer: die Basis ([mm]v_{1},v_{2}[/mm]) des [mm] $\IR^2$ [/mm] als Definitionsmenge,
und die Basis ([mm]v_{1},v_{2}[/mm]) des [mm] $\IR^2$ [/mm] als Zielmenge),
das andere mal bezogen auf die kanonische Basis ([mm]e_{1},e_{2}[/mm])
(genauer: wieder ist die Basis ([mm]e_{1},e_{2}[/mm]) des [mm] $\IR^2$ [/mm] als Definitions- und als Zielmenge).
Die beiden Matrizen, die Du angegeben hast, sind richtig,
aber falsch den Basen zugeordnet.
(Um die Sache noch etwas komplizierter zu machen,
(wird in dieser Aufgabe nicht verlangt)
könnte man noch die Matrix zu L bezogen auf die Basis ([mm]e_{1},e_{2}[/mm])
der Defintionsmenge [mm] $\IR^2$ [/mm] und der Basis ([mm]v_{1},v_{2}[/mm]) der Zielmenge [mm] $\IR^2$ [/mm] betrachten,
sowie die Matrix zu L bezogen auf die Basis ([mm]v_{1},v_{2}[/mm]) der Defintionsmenge [mm] $\IR^2$
[/mm]
und der Basis ([mm]e_{1},e_{2}[/mm]) der Zielmenge [mm] $\IR^2$.)
[/mm]
>
> > Das, was gemacht wird, faengt mit "Sch" an.
>
> Scherstreckung!?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> Danke!
Gruß
meili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:09 Mi 10.11.2010 | | Autor: | kushkush |
Danke für die Korrektur und die Zusatzaufgabe meili !!
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