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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Di 15.12.2009 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Sei
[mm] b1=(1,-2,-2)^t, b2=(0,1,1)^t, b3=(3,4,2)^t
[/mm]
[mm] c1=(3,0)^t, c2=(1,1)^t
[/mm]
und sei [mm] \alpha: R^3 [/mm] -> [mm] R^2: [/mm] die durch b1 -> c1, b2 -> c2 und b3 -> c1+c2 gegebene lineare Abbildung. Bestimmen Sie die Matrixdarstellung von bzgl.der Basen
B und C |
Kann ich nun folgendermaßen vorgehen?
[mm] \alpha \vektor{1 \\ -2 \\ -2} [/mm] -> [mm] \vektor{3 \\ 0}
[/mm]
[mm] \alpha \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] -> [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \alpha \vektor{3 \\ 4 \\ 2} [/mm] -> [mm] \vektor{4 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vektor{3 \\ 0} [/mm] = a * [mm] \vektor{3 \\ 0} [/mm] + b * [mm] \vektor{1 \\ 1}
[/mm]
...
Das Bild von [mm] \alpha(b1) [/mm] ergibt ja C1 und dieses C1 muss ja hergestellt werden aus C oder?
C [mm] \alpha [/mm] C = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 } [/mm] ??
Ich habe ja eine Abbildung vom drei- ins zwei-dimensionale.
Aber wie baue ich beide hier ein?
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> Sei
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> [mm]b1=(1,-2,-2)^t, b2=(0,1,1)^t, b3=(3,4,2)^t[/mm]
> [mm]c1=(3,0)^t, c2=(1,1)^t[/mm]
>
> und sei [mm]\alpha: R^3[/mm] -> [mm]R^2:[/mm] die durch b1 -> c1, b2 -> c2
> und b3 -> c1+c2 gegebene lineare Abbildung. Bestimmen Sie
> die Matrixdarstellung von bzgl.der Basen
>
> B und C
> Kann ich nun folgendermaßen vorgehen?
Hallo,
Du sollst also die Matrix [mm] _C\alpha_B [/mm] aufstellen.
Das ist die Matrix, die in ihren Spalten die Bilder der Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl. C (!!!) enthält.
Nun gucken wir mal nach:
[mm] \alpha(b_1)= c_1=1*c_1+0*c_2=\vektor{1\\0}_{(C)},
[/mm]
und dies ist die erste Spalte der gesuchten Matrix.
Zwei weitere Spalten müssen folgen.
Gruß v. Angela
>
> [mm]\alpha \vektor{1 \\ -2 \\ -2}[/mm] -> [mm]\vektor{3 \\ 0}[/mm]
> [mm]\alpha \vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
> -> [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> [mm]\alpha \vektor{3 \\ 4 \\ 2}[/mm] ->
> [mm]\vektor{4 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]\vektor{3 \\ 0}[/mm] = a * [mm]\vektor{3 \\ 0}[/mm] + b * [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
>
> ...
> Das Bild von [mm]\alpha(b1)[/mm] ergibt ja C1 und dieses C1 muss ja
> hergestellt werden aus C oder?
>
> C [mm]\alpha[/mm] C = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm] ??
>
> Ich habe ja eine Abbildung vom drei- ins
> zwei-dimensionale.
> Aber wie baue ich beide hier ein?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Di 15.12.2009 | | Autor: | zocca21 |
Okay...ist dann
C [mm] \alpha [/mm] B = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1}
[/mm]
Hab es vorher verdeht...nicht den Vorschau-Modus gecheckt :(
Ich habe mir das nun so gemerkt, wenn eine Matrix wie oben steht, muss ich B aus C herstellen. Ist dass so korrekt?
Was mich hier auch leicht verwirrt hat, ist dass das Bild von B = C ist. Deshalb dachte ich C [mm] \alpha [/mm] C.... Also kann man sagen, dass immer die Basis welchem im Bild steht auch meine Basis an der stelle X (... /alpha X...ist)?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Di 15.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Okay...ist dann
>
> C [mm]\alpha[/mm] B = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1}[/mm]
Richtig
FRED
>
> Hab es vorher verdeht...nicht den Vorschau-Modus gecheckt
> :(
>
> Ich habe mir das nun so gemerkt, wenn eine Matrix wie oben
> steht, muss ich B aus C herstellen. Ist dass so korrekt?
>
> Was mich hier auch leicht verwirrt hat, ist dass das Bild
> von B = C ist. Deshalb dachte ich C [mm]\alpha[/mm] C.... Also kann
> man sagen, dass immer die Basis welchem im Bild steht auch
> meine Basis an der stelle X (... /alpha X...ist)?
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Und wie würde das nun gehen, wenn man die Matrixdarstellung hier bzgl. der Basen B und der kanonischen Basis E={e1,e2} darstellen muss?
Denn e1, e2 kommt in der Abbildungsvorschrift gar nicht vor?!
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> Und wie würde das nun gehen, wenn man die
> Matrixdarstellung hier bzgl. der Basen B und der
> kanonischen Basis E={e1,e2} darstellen muss?
> Denn e1, e2 kommt in der Abbildungsvorschrift gar nicht
> vor?!
Hallo,
dann stehen in den Spalten die Bilder der Basisvektoren von B in Standardkoordinaten.
In der ersten Spalte steht [mm] f(b_1)=\vektor{3\\0}.
[/mm]
Die anderen entsprechend.
Diese angegebenen Koordinatenvektoren sind ja bzgl. der Standardbasis.
Gruß v. Angela
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Hallo,
habe
[mm] \begin{pmatrix}
3 & 1 & 4 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
raus bekommen?
Ist das so korrekt?
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> Hallo,
>
> habe
> [mm]\begin{pmatrix}
3 & 1 & 4 \\
0 & 1 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> raus bekommen?
> Ist das so korrekt?
Hallo,
ja, das ist die Darstellungsmatrix bzgl. B und E.
Gruß v. Angela
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Klasse danke!
Dann wäre
$ [mm] \begin{pmatrix} -1 & 1 & 5 \\ -4 & 2 & 6 \end{pmatrix} [/mm] $
bzgl. E'={e1,e2,e3} und C oder?
So, und was wäre jetzt wenn man die Matrixdarstellung bzgl. Base E' und E bestimmen müsste? Da fällt mir momentan nix zu ein...
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> Klasse danke!
>
> Dann wäre
>
> [mm]\begin{pmatrix} -1 & 1 & 5 \\ -4 & 2 & 6 \end{pmatrix}[/mm]
>
> bzgl. E'={e1,e2,e3} und C oder?
Hallo,
schreib bitte auf, was Du hierzu gerechnet hast, dann kann man nämlich drübergucken und sehen, ob es richtig gemacht ist, ohne alles selbst rechnen zu müssen.
(Das Ergebnis sieht mir falsch aus.)
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> So, und was wäre jetzt wenn man die Matrixdarstellung
> bzgl. Base E' und E bestimmen müsste? Da fällt mir
> momentan nix zu ein...
Du mußt die Bilder der Standardbasisvektoren des [mm] \IR^3 [/mm] in Standardkoordinaten des [mm] \IR^2 [/mm] bestimmen.
Gruß v. Angela
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