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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Mi 06.05.2009 | | Autor: | aga88 |
| Aufgabe | f: [mm] Pol_{3} (\IR) \to Pol_{2} (\IR) [/mm] , [mm] a_{3}X^{3}+a_{2}X^{2}+a_{1}X +a_{0} \mapsto 3a_{3}X^{2} [/mm] + [mm] 2a_{2}X [/mm] + [mm] a_{1}
[/mm]
a) Man zeige, dass f eine lineare Abbildung ist.
b) Man untersuche f auf Injektivität und Surjektivität. |
Habe bei diesem Thema leider gefehlt und habe keine Aufzeichnungen hierzu und weiß leider noch ncith einmal, wie ich anfangen soll.
Bin dankbar für jede Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Agata,
> f: [mm]Pol_{3} (\IR) \to Pol_{2} (\IR)[/mm] ,
> [mm]a_{3}X^{3}+a_{2}X^{2}+a_{1}X +a_{0} \mapsto 3a_{3}X^{2}[/mm] +
> [mm]2a_{2}X[/mm] + [mm]a_{1}[/mm]
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> a) Man zeige, dass f eine lineare Abbildung ist.
> b) Man untersuche f auf Injektivität und Surjektivität.
> Habe bei diesem Thema leider gefehlt und habe keine
> Aufzeichnungen hierzu und weiß leider noch ncith einmal,
> wie ich anfangen soll.
Schau auf wikipedia oder anderswo im weiten Netz nach.
Für (a) zeige, dass für [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm] und [mm] $p,q\in Pol_3$ [/mm] gilt
(1) $f(p+q)=f(p)+f(q)$, also
$f((p+q)(X))=f(p(X))+f(q(X))$ für alle [mm] $X\in\IR$
[/mm]
(2) [mm] $(\lambda f)(p)=\lambda [/mm] f(p)$, also
[mm] $(\lambda f)(p(X))=\lambda [/mm] f(p(X))$ für alle [mm] $X\in\IR$
[/mm]
Wahlweise in 1 Schritt:
zeige: [mm] $f(\lambda p+q)=\lambda [/mm] f(p)+f(q)$
Schnappe dir dazu zwei Polynome [mm] $p(X)=a_3X^3+a_2X^2+a_1X+a_0$ [/mm] und [mm] $q(X)=b_3X^3+b_2X^2+b_1X+b_0$ [/mm] und rechne es geradeheraus nach
Für (b) nimm dir mal die Standardbasen der beiden Räume her und berechne die Darstellungsmatrix.
Daran kannst du alles "ablesen" bzw. untersuchen
Eine lineare Abb. ist injektiv, wenn ihr Kern nur der Nullvektor, also hier das Nullpolynom in [mm] $Pol_3$ [/mm] ist ...
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> Bin dankbar für jede Hilfe!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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