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| Aufgabe | | Sei V Vektorraum aller reellen Polynome p(x) = [mm] \summe_{j=0}^{3} \alpha_{j} x^j (\alpha_{j} \in \IR [/mm] ) vom Grad [mm] \le [/mm] 3 und W = [mm] \IR^4. [/mm] die Abbildung [mm] \varepsilon [/mm] : V -> W sei definiert durch [mm] \varepsilon(p) [/mm] = (p(-1) p(1) p(2) [mm] p(3))^T. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] \varepsilon [/mm] eine lineare Abbildung ist. |
Hallo, ich habe folgendes gemacht bin mir aber nicht sicher ob das richtig ist:
[mm] \vektor{ \alpha(-1)^0 + \alpha(-1)^1 + \alpha(-1)^2 \alpha(-1)^3 \\ \alpha(1)^0 + \alpha(1)^1 + \alpha(1)^2 \alpha(-)^3 \\ \alpha(2)^0 + \alpha(2)^1 + \alpha \alpha(2)^3 \\ \alpha(3)^0 + \alpha(3)^1 + \alpha(3)^2 \alpha(3)^3} [/mm]
=
[mm] \vektor{ \alpha - \alpha + \alpha - \alpha \\ \alpha + \alpha + \alpha + \alpha \\ \alpha + 2\alpha + 4\alpha + 8\alpha \\ \alpha + 3\alpha + 9\alpha + 27\alpha}
[/mm]
=
[mm] \vektor{0\alpha \\ 4\alpha \\ 15\alpha \\ 40\alpha}
[/mm]
normalerweise würde ich ja jetzt sagen, dass [mm] \varepsilon [/mm] linear von [mm] \alpha [/mm] abhängig ist, aber müsste dann anstatt der 0 oben mindestens eine 1 stehen?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Do 18.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Sei V Vektorraum aller reellen Polynome p(x) =
> [mm]\summe_{j=0}^{3} \alpha_{j} x^j (\alpha_{j} \in \IR[/mm] ) vom
> Grad [mm]\le[/mm] 3 und W = [mm]\IR^4.[/mm] die Abbildung [mm]\varepsilon[/mm] : V ->
> W sei definiert durch [mm]\varepsilon(p)[/mm] = (p(-1) p(1) p(2)
> [mm]p(3))^T.[/mm] Zeigen Sie, dass [mm]\varepsilon[/mm] eine lineare
> Abbildung ist.
> Hallo, ich habe folgendes gemacht bin mir aber nicht
> sicher ob das richtig ist:
>
> [mm]\vektor{ \alpha(-1)^0 + \alpha(-1)^1 + \alpha(-1)^2 \alpha(-1)^3 \\ \alpha(1)^0 + \alpha(1)^1 + \alpha(1)^2 \alpha(-)^3 \\ \alpha(2)^0 + \alpha(2)^1 + \alpha \alpha(2)^3 \\ \alpha(3)^0 + \alpha(3)^1 + \alpha(3)^2 \alpha(3)^3}[/mm]
>
Was machst Du hier eigentlich ?????????????????????????
> =
>
> [mm]\vektor{ \alpha - \alpha + \alpha - \alpha \\ \alpha + \alpha + \alpha + \alpha \\ \alpha + 2\alpha + 4\alpha + 8\alpha \\ \alpha + 3\alpha + 9\alpha + 27\alpha}[/mm]
>
> =
>
> [mm]\vektor{0\alpha \\ 4\alpha \\ 15\alpha \\ 40\alpha}[/mm]
>
> normalerweise würde ich ja jetzt sagen, dass [mm]\varepsilon[/mm]
> linear von [mm]\alpha[/mm] abhängig ist, aber müsste dann anstatt
> der 0 oben mindestens eine 1 stehen?
>
Das ist alles Unsinn ! Was soll das [mm] \alpha [/mm] ??
Zeige einfach ganz schnörkellos:
[mm] \varepsilon(p+q) [/mm] = [mm] \varepsilon(p)+\varepsilon(q)
[/mm]
und
[mm] \varepsilon(\lambda [/mm] p) = [mm] \lambda \varepsilon(p)
[/mm]
für p,q [mm] \in [/mm] V und [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
FRED
> Gruß
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