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Hallo zusammen
Folgende Aufgabe
Es sei V der reelle VR der Polynome x vom Grad kleiner gleich 2.
Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden linearen Selbsabbildung:
p(x) --> p(1-x)
Wie man EW und EV berechnet weiss ich, aber wie ich auf die folgende Matrix komme, verstehe ich nicht!
A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
Liebe grüsse Babybel
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> Hallo zusammen
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> Folgende Aufgabe
> Es sei V der reelle VR der Polynome x vom Grad kleiner
> gleich 2.
> Bestimme die Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden
> linearen Selbsabbildung:
> p(x) --> p(1-x)
>
> Wie man EW und EV berechnet weiss ich, aber wie ich auf die
> folgende Matrix komme, verstehe ich nicht!
> A = [mm]\pmat{ 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1}[/mm]
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Hallo,
es ist [mm] B:=(p_1(x):=1, p_2(x):=x, p_3(x):=x^2) [/mm] eine Basis von V.
Die Abbildung [mm] \varphi, [/mm] um die es geht, bildet ab von V nach V, und zwar so:
[mm] \varphi(p(x)):=p(1-x). [/mm]
In den Saplten der Darstellungsmatrix von [mm] \varphi [/mm] stehen die Bilder der drei Basisvektoren von B in Koordinaten bzgl. B.
Nun schauen wir uns die Bilder der drei Basisvektoren an:
[mm] \varphi(p_1(x))=p_1(1-x)= [/mm] 1 [mm] =1*1+0*x+0*x^2=\vektor{1\\0\\0}_B
[/mm]
[mm] \varphi(p_2(x))=p_2(1-x)=1-x= [/mm] ...*1+ ...*x+ [mm] ...*x^2= [/mm] ...
[mm] \varphi(p_3(x))= [/mm] ...
Versuch mal und schau, ob's paßt.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela
Ich verstehe den folgenden Schritt nicht:
[mm] \varphi(p_1(x))=p_1(1-x)= [/mm] 1
Wieso ist [mm] p_1(1-x)= [/mm] 1 ??
Wieso ist es nicht [mm] p_1(1)=p_1(1-1)=0??
[/mm]
Liebe Grüsse
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Hallo,
> Hallo Angela
> Ich verstehe den folgenden Schritt nicht:
> [mm]\varphi(p_1(x))=p_1(1-x)=[/mm] 1
> Wieso ist [mm]p_1(1-x)=[/mm] 1 ??
> Wieso ist es nicht [mm]p_1(1)=p_1(1-1)=0??[/mm]
Na, weil es so definiert ist [mm] $p_1(x):=1$
[/mm]
Das ist eine Abb., die alles konstant auf 1 setzt.
In diesem Zusammenhang ist [mm] $p_1$ [/mm] das konstante Polynom identisch 1
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> Liebe Grüsse
>
Gruß
schachuzipus
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Hallo
Dann ist es bei
[mm] \varphi(p_3(x))=p_3(1-x)= 1^2-x^2 [/mm] ???
liebe Grüsse
Babybel
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> Hallo
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> Dann ist es bei
> [mm]\varphi(p_3(x))=p_3(1-x)= 1^2-x^2[/mm] ???
Hallo,
nein.
Es ist doch [mm] p_3(x)=x^2, [/mm] und bei [mm] p_3(1-x) [/mm] mußt Du nun das x von zuvor durch 1-x ersetzen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:57 Fr 23.07.2010 | | Autor: | Babybel73 |
Ahhaaaa!!
Ich muss also rechnen: [mm] (1-x)^2 [/mm] = [mm] x^2-2x+1 [/mm] !!
Vielen Dank!!!
liebe Grüsse
Babybel
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> Ahhaaaa!!
>
> Ich muss also rechnen: [mm](1-x)^2[/mm] = [mm]x^2-2x+1[/mm] !!
Genau.
Und der Koordinatenvektor ist dann [mm] \vektor{1\\-2\\1}
[/mm]
Gruß v. Angela
> Vielen Dank!!!
>
> liebe Grüsse
> Babybel
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