www.vorkurse.de
Ein Projekt von vorhilfe.de
Die Online-Kurse der Vorhilfe

E-Learning leicht gemacht.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Teams · Forum · Wissen · Kurse · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe-Vorkurse
  Status Organisatorisches
  Status Schule
    Status Wiederholung Algebra
    Status Einführung Analysis
    Status Einführung Analytisc
    Status VK 21: Mathematik 6.
    Status VK 37: Kurvendiskussionen
    Status VK Abivorbereitungen
  Status Universität
    Status Lerngruppe LinAlg
    Status VK 13 Analysis I FH
    Status Algebra 2006
    Status VK 22: Algebra 2007
    Status GruMiHH 06
    Status VK 58: Algebra 1
    Status VK 59: Lineare Algebra
    Status VK 60: Analysis
    Status Wahrscheinlichkeitst

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Lineare Algebra" - Linear unabhängig
Linear unabhängig < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Linear unabhängig: Korrektur - Gegenbeispiel
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Fr 26.01.2007
Autor: KnockDown

Hi,
ich habe eine Aufgabe gerechnet, bei der ich prüfen sollte, ob die Vektoren linear Abhängig oder Unabhängig sind.

[Dateianhang nicht öffentlich]

Jetzt habe ich das ganze gerechnet und habe herausgefunden, dass Sie linear unabhängig sind.

$Matrix\ aufstellen\ [mm] \Rightarrow \pmat{ 1 & -1 & 0 & 1 \\ 2 & -2 & 3 & -1 \\ 3 & -1 & 0 & 1 \\ 4 & -2 & 5 & -1} \Rightarrow [/mm] Matrix\ erweitert\ um\ den\ [mm] \vec{0} \pmat{ 1 & -1 & 0 & 1\ \ \ \ |\ 0 \\ 2 & -2 & 3 & -1\ |\ 0 \\ 3 & -1 & 0 & 1\ \ \ \ |\ 0 \\ 4 & -2 & 5 & -1\ |\ 0 } \Rightarrow [/mm] Gauss [mm] \Rightarrow \pmat{ 1 & -1 & 0 & 1\ \ \ \ |\ 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1\ |\ 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0\ \ \ \ |\ 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\ \ \ \ |\ 0 }$ [/mm]

[mm] $x_4=0$, $x_3=0$, $x_2=0$, $x_1=0$ [/mm]


Ich habe mich gefragt:

Wie könnte die Aufgabenstellung lauten, wenn es sich um Vektoren handelt, bei denen min. 2 linear Abhängig voneinander sind. Also wie könnte dann so eine Beispielaufgabe aussehen, die ich mal rechnen könnte?

Könnte mir jemand von euch eine Beispielaufgabe geben?





Danke für die Hilfe




Gruß Thomas

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Linear unabhängig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:10 Fr 26.01.2007
Autor: angela.h.b.


> Könnte mir jemand von euch eine Beispielaufgabe geben?

Hallo,

solch ein Beispiel kannst Du Dir doch leicht selber machen!
Aus den Vektoren der Aufgabe kannst Du Dir bestimmt etwas Abhängiges basteln.

Nimm z.B.
[mm] (v_1, 3v_1-v_3, v_3, -2v_3+v_2) [/mm]

Mach' Dir Deine Matrix und rechne los.

Gruß v. Angela



Bezug
                
Bezug
Linear unabhängig: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:25 Fr 26.01.2007
Autor: KnockDown

Hi Angela,

danke für die Antwort, ich werde das gleich mal rechnen und dann mein Ergebnis posten ob das dann so stimmt, falls ich mir unsicher wäre.


Danke




Gruß Thomas

Bezug
                
Bezug
Linear unabhängig: Linear abhängig - kontrolle
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:42 Mi 07.02.2007
Autor: KnockDown

Hi,

also ich habe das jetzt mal gerechnet. Ich habe keinen "vollen" Rang herausbekommen (nennt man das so? Meine Matrix hat 4 Spalten, mein Rang ist 3).

Ich habe jetzt die Matrix nach folgendem Schema aufgestellt: $ [mm] (v_1, 3v_1-v_3, v_3, -2v_3+v_2) [/mm] $ (Somit sind die Vektoren linear abhängig!)

[mm] \pmat{1 & 3 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & 3 & -8 \\ 3 & 9 & 0 & -1 \\ 4 & 7 & 5 & -12} [/mm] Zeile 4 - 2*Zeile 2

[mm] \pmat{1 & 3 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & 3 & -8 \\ 3 & 9 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 4} [/mm] Zeile 2 - 2*Zeile 1 UND Zeile 3 - 3*Zeile 1

[mm] \pmat{1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & -3 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 4} [/mm] Zeile 2 + 3*Zeile 4

[mm] \pmat{1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 4} [/mm] Zeile 2 - 3*Zeile 3

[mm] \pmat{1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 4} [/mm] Zeile 2 und Zeile 4 Tauschen

[mm] \pmat{1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] Zeile 3 durch 2 teilen

[mm] \pmat{1 & 3 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm]


Ist der Rang der Matrix 3!?! Ich bin mir jetzt nicht sicher da es keine richtige Zeilenstufenform ist. Bedeutet es, weil der Rang der Matrix 3 ist aber die Matrix 4 Spalten hat, dass die Vektoren linear Abhängig sind?




Die alte Aufgabenstellung um sehen zu können wie ich Matrix zusammengestellt wurde:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Bezug
                        
Bezug
Linear unabhängig: Zeilenrang=Spaltenrang
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:49 Mi 07.02.2007
Autor: clwoe

Hi,

genau so wie du gesagt hast ist es auch! Der Rang der Matrix ist hier 3.

Wenn du alle deine Vektoren in eine Matrix schreibst und mit dem Gauss Algorithmus auf Zeilenstufenform bringst, dann kannst du genau sehen welche linear unabhängig sind und welche nicht. Wenn deine Matrix vier Zeilen hat du aber nur drei oder weniger Stufen in deiner Matrix hast, dann sind nicht alle linear unabhängig. Immer dann wenn deine Matrix vollen Zeilenrang oder vollen Spaltenrang hat, sind alle Vektoren linear unabhängig, sonst nicht. Deswegen verwendet man auch dieses Verfahren, weil es einfach ist und schnell zu sehen ist.

Gruß,
clwoe


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Lineare Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorkurse.de
[ Startseite | Mitglieder | Teams | Forum | Wissen | Kurse | Impressum ]