Linear Unabhängig < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:07 Sa 28.04.2012 | | Autor: | Jack159 |
| Aufgabe | Prüfen Sie, ob folgende Menge linear abhängig oder unabhängig ist:
M={ [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 1}, \vektor{3 \\ 2 \\ -2}, \vektor{11 \\ 19 \\ 1} [/mm] } |
Hallo,
Im wesentlichen gehts ja jetzt darum, dass ich das Gleichungssystem mit 3 Unbekannten und 3 Gleichungen lösen soll und falls alle Unbekannten = 0 sind dann ist M linear unabhängig, ansonsten linear abhängig.
Mein Problem ist grad das Lösen des Gleichungssystemes, welches mir irgendwie nicht gelingt....
(Aufgabe ist aus einem Buch, Lösungen sind: x=5, y=2, z=-1)
Also M gibt ja folgendes Gleichungssystem:
1) x+3y+11z=0
2) 3x+2y+19z=0
3) x-2y+z=0
3) nach x auflösen und in 1) und 2) einsetzen:
3) x-2y+z=0 |+2y-z
[mm] \gdw [/mm] x=2y-z in 1) und 2) einsetzen:
1) 2y-z+3y+11z=0
[mm] \gdw [/mm] 5y+10z=0 (Ich nenne sie 1.1)
2) 3*(2y-z)+2y+19z=0
[mm] \gdw [/mm] 6y-3z+2y+19z=0
[mm] \gdw [/mm] 8y+16z=0 (Ich nenne sie 2.1)
Also haben wir nun noch 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, nämlich:
1.1) 5y+10z=0
2.1) 8y+16z=0
1.1) nach z auflösen und in 2.1) einsetzen:
1.1) 5y+10z=0 |-5y
[mm] \gdw [/mm] 10z=-5y |:10
[mm] \gdw [/mm] z=-0,5y in 2.1)
2.1) 8y+16*(-0,5y)=0
[mm] \gdw [/mm] 8y-8y=0
[mm] \gdw [/mm] 0=0
Und genau hier ist mein Problem....Wieso kommt dort dann 0=0 raus?
Was mache ich falsch? ich hab die Aufgabe jett schon mehrmals gerechnet....
Schmeiße ich die Gleichungen auf diesen Rechner auf der Seite hier:
http://rechen-fuchs.de/lineare-gleichungssysteme-loesen/
Sagt er mir, dass dieses Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hätte....
Wo ist mein Fehler? Bin grad ziemlich verwirrt!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Sa 28.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Jack,
> Im wesentlichen gehts ja jetzt darum, dass ich das
> Gleichungssystem mit 3 Unbekannten und 3 Gleichungen lösen
> soll und falls alle Unbekannten = 0 sind dann ist M linear
> unabhängig, ansonsten linear abhängig.
Ja.
> Mein Problem ist grad das Lösen des Gleichungssystemes,
> welches mir irgendwie nicht gelingt....
> (Aufgabe ist aus einem Buch, Lösungen sind: x=5, y=2,
> z=-1)
Das ist EINE Lösung des Gleichungssystems. Offensichtlich hat das Buch nur eine Lösung, bei der nicht alle Unbekannten 0 sind, angegeben, da das zum Nachweis der linearen Abhängigkeit reicht.
> Also M gibt ja folgendes Gleichungssystem:
>
> 1) x+3y+11z=0
> 2) 3x+2y+19z=0
> 3) x-2y+z=0
>
> 3) nach x auflösen und in 1) und 2) einsetzen:
>
> 3) x-2y+z=0 |+2y-z
> [mm]\gdw[/mm] x=2y-z in 1) und 2) einsetzen:
>
> 1) 2y-z+3y+11z=0
> [mm]\gdw[/mm] 5y+10z=0 (Ich nenne sie 1.1)
>
> 2) 3*(2y-z)+2y+19z=0
> [mm]\gdw[/mm] 6y-3z+2y+19z=0
> [mm]\gdw[/mm] 8y+16z=0 (Ich nenne sie 2.1)
>
> Also haben wir nun noch 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten,
> nämlich:
>
> 1.1) 5y+10z=0
> 2.1) 8y+16z=0
>
> 1.1) nach z auflösen und in 2.1) einsetzen:
>
> 1.1) 5y+10z=0 |-5y
> [mm]\gdw[/mm] 10z=-5y |:10
> [mm]\gdw[/mm] z=-0,5y in 2.1)
>
> 2.1) 8y+16*(-0,5y)=0
> [mm]\gdw[/mm] 8y-8y=0
> [mm]\gdw[/mm] 0=0
>
> Und genau hier ist mein Problem....Wieso kommt dort dann
> 0=0 raus?
> Was mache ich falsch? ich hab die Aufgabe jett schon
> mehrmals gerechnet....
> Schmeiße ich die Gleichungen auf diesen Rechner auf der
> Seite hier:
> http://rechen-fuchs.de/lineare-gleichungssysteme-loesen/
> Sagt er mir, dass dieses Gleichungssystem unendlich viele
> Lösungen hätte....
>
> Wo ist mein Fehler? Bin grad ziemlich verwirrt!
Kein Fehler. Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen; eine Variable ist frei wählbar.
Viele Grüße
Tobias
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