Linear Abhängig < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:43 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Phoney |
Moin, moin.
Warum sind Geraden, die parallel zueinander stehen, linear abhängig?
Normalerweise sagt man ja: Wenn sie auf einer Ebene sind, sind sie linear abhängig, aber das könnte ich mir selbst nicht verdeutlichen.
Desweiteren habe ich es so gelernt, dass wenn man später mit einem anderen Vektor einen Zug bilden kann z.B. beim schneiden, dann wäre es ebenfalls linear abhängig.
Warum sind parallele Geraden linear abhängig?
Viele liebe Grüße Johann
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 23:37 Mo 21.02.2005 | | Autor: | Magma |
meiner meinung nach sollte man dieses "linear abhänging" einfach als feststehende definiton betrachten:
Linear abhänging nennt man solche Vektoren(=geraden), deren Kreuzprodukt den Nullvektor ergibt. Diese sind dann entweder echt parallel, oder identisch. Du nimmst also einen Punkt auf Vektor a und setzt ihn in die geradengleichung von der Gerade b ein, wenn eine ware aussage rauskommt, sind sie identisch, bei falscher aussage parallel.
Sollte sich nicht der "nullvektor" erbeben, sind die geraden/vektoren linear unabhänging, heisst also entweder sie schneiden sich (gerade a und gerade b gleichsetzen ergibt einen Schnittpunkt), oder sie sind windschief (gerade a und gerade b schneiden sich nicht, liegen z.b. unter/übereinander)
wenn du das in R3 machst musst du [mm] \vec{a} \odot (\vec{b} \times \vec{b}) =\vec{0} [/mm] rechnen, wenn das rauskommt, sind die 3 Vektoren linear abhänging, d.h. sie liegen in einer Ebene, oder sind parallel, sie spannen KEIN rechssystem auf und bilden KEINE Basis.
du kannst das auch über das homogene gleichungssystem lösen, wenn dieses unendlich viele lösungen besitzt (also X3=k), sprich nach dem auflösen des gleichungssystem ergibt sich in der letzten zeile die "Nullzeile", dann sind diese vektoren linear abhänging
Alles klar?
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Hi, Phoney,
> Warum sind Geraden, die parallel zueinander stehen, linear
> abhängig?
> Normalerweise sagt man ja: Wenn sie auf einer Ebene sind,
> sind sie linear abhängig, aber das könnte ich mir selbst
> nicht verdeutlichen.
Richtig: "Auf" zwei parallele Geraden kannst Du immer eine Ebene legen.
Umgekehrt "sind" dann diese Geraden "auf" - oder "in" der Ebene). Das kannst Du Dir leicht veranschaulichen: Nimm' zwei lange Stäbe und halte sie parallel. Und nun leg' einen flachen Karton drauf: Wie Du die (parallelen!) Geraden auch immer hältst: der Karton (also die Ebene) geht immer "drauf"! (Naja: Wenn Du die Geraden zu schräg hältst, rutscht er natürlich ab, aber dann klebst ihn halt - in Gedanken - ein bissl fest.)
Klaro?
mfG!
Zwerglein
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Hallo Johann,
> Warum sind Geraden, die parallel zueinander stehen, linear
> abhängig?
Wieso fragst du nach Geraden?
Ich kenne die Lineare Abhängigkeit nur bei Vektoren. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Und Vektoren sind linear abhängig, wenn sie Vielfache von einander sind.
Dann sind sie natürlich auch parallel zu einander. 
Und wenn diese Vektoren die Richtungen von zwei Geraden darstellen, sind diese Geraden eben auch parallel.
(aber nicht linear abhängig.)
> Normalerweise sagt man ja: Wenn sie auf einer Ebene sind,
> sind sie linear abhängig, aber das könnte ich mir selbst
> nicht verdeutlichen.
> Desweiteren habe ich es so gelernt, dass wenn man später
> mit einem anderen Vektor einen Zug bilden kann z.B. beim
> schneiden, dann wäre es ebenfalls linear abhängig.
Was ist "es"?
Wenn du im [mm] \IR^2 [/mm] zwei Vektoren gegeben hast, so kannst du einen dritten stets aus den beiden anderen "zusammensetzen":
[mm] $\vektor{1\\0}$ [/mm] und [mm] $\vektor{0\\1}$ [/mm] sind in [mm] \IR^2 [/mm] linear unabhängig, zeigen in verschiedene Richtungen.
Jeder weitere Vektor [mm] $\vektor{a_1\\a_2}$ [/mm] läßt sich dann als Linearkombination darstellen:
[mm] $\vektor{a_1\\a_2} [/mm] = [mm] a_1*\vektor{1\\0} [/mm] + [mm] a_2*\vektor{0\\1}$
[/mm]
Daran erkennst du: höchstens zwei Vektoren können in [mm] \IR^2 [/mm] linear unabhängig sein, nimmt man einen weiteren hinzu, sind alle drei linear abhängig.
> Warum sind parallele Geraden linear abhängig?
>
>
> Viele liebe Grüße Johann
>
Wird's jetzt klar(er)?
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