Linealisierung einer Gleichung < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:08 So 06.01.2013 | | Autor: | alchemist297 |
Hallo liebe Leute, ich komme bei der Aufgabe im Anhang gar nicht weiter. Es geht um punkt a). Die 2 Beispiele in der Aufgabenstellung verstehe ich und ich kann sie nachvollziehen. Allerdings komme ich bei der tatsächlichen Gleichung nicht weiter. Kann mir jemand mit der/n Transformation(en) helfen, bzw. welche kämen in Frage? Dann kann ich die Gleichung selbst linealisieren.
Vielen Dank für jede Hilfe!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 So 06.01.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dein Aufgabenzettel im Anhang siehtr mir nicht danach aus, als hättest du ihn selber erstellt. Daher habe ich ihn mal aus Urheberrechtsgründen gesperrt. Tippe die Aufgabe doch gerade ab, dann bekommst du wahrscheinlich schneller Hilfe, da du die Tipparbeit nicht dem Antwortgeber überlässt.
Marius
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Die rationalen, bzw. genauer die gebrochen linearen Funktionsgleichungen [mm] y= \left(\bruch{ax}{x+b} \right) [/mm] und
[mm] y= \left(\bruch{a}{x+b} \right) [/mm] können durch geeignete Transformationen in lineare Funktionen umgewandelt werden. So geht die erste Gleichung durch die Transformation [mm] y_1= 1/y [/mm] und [mm] x_1= 1/x [/mm] in die Funktionsgleichung [mm] y_1= \left(\bruch{b}{a} \right)x_1 + \left(\bruch{1}{a} \right)[/mm] über und die zweite Gleichung durch die Transformation [mm] y_1= 1/y [/mm] und [mm] x_1= x [/mm] in die Funktionsgleichung [mm] y_1= \left(\bruch{1}{a} \right)x_1 + \left(\bruch{b}{a} \right)[/mm] über.
Zur Beschreibung des Wachstumverlaufs der Weltbevolkerung wurde die Gleichung
[mm] N = \left(\bruch{N_0}{1 - at} \right)[/mm]
vorgeschlagen, in der t die Zeit in Jahren und N die Bevolkerungsgröße in Milliarden bedeutet.
Linearisieren Sie die Gleichung mit Hilfe einer geeigneten Reziproktransformation.
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> Die rationalen, bzw. genauer die gebrochen linearen
> Funktionsgleichungen [mm]y= \left(\bruch{ax}{x+b} \right)[/mm] und
> [mm]y= \left(\bruch{a}{x+b} \right)[/mm] können durch geeignete
> Transformationen in lineare Funktionen umgewandelt werden.
> So geht die erste Gleichung durch die Transformation [mm]y_1= 1/y[/mm]
> und [mm]x_1= 1/x[/mm] in die Funktionsgleichung [mm]y_1= \left(\bruch{b}{a} \right)x_1 + \left(\bruch{1}{a} \right)[/mm]
> über und die zweite Gleichung durch die Transformation
> [mm]y_1= 1/y[/mm] und [mm]x_1= x[/mm] in die Funktionsgleichung [mm]y_1= \left(\bruch{1}{a} \right)x_1 + \left(\bruch{b}{a} \right)[/mm]
> über.
>
> Zur Beschreibung des Wachstumverlaufs der Weltbevolkerung
> wurde die Gleichung
>
> [mm]N = \left(\bruch{N_0}{1 - at} \right)[/mm]
>
> vorgeschlagen, in der t die Zeit in Jahren und N die
> Bevolkerungsgröße in Milliarden bedeutet.
>
> Linearisieren Sie die Gleichung mit Hilfe einer geeigneten
> Reziproktransformation.
Man kann den Reziprokwert $\ R\ =\ [mm] \frac{1}{N}$ [/mm] von N als
linearen Ausdruck von t schreiben.
Verwende also einfach die Substitution $\ R:=\ [mm] \frac{1}{N}$ [/mm]
LG
Al-Chw.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 20:56 So 06.01.2013 | | Autor: | alchemist297 |
Vielen vielen Dank für deinen Tipp! Also man erhält einfach die Gleichung:
[mm] R = \left(\bruch{1 - at}{N_0t} \right)[/mm]
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Ich meinte natürlich [mm] R = \left(\bruch{1 - at}{N_0} \right)[/mm]
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> Ich meinte natürlich [mm]R = \left(\bruch{1 - at}{N_0} \right)[/mm]
Ja.
Oder, um die Linearität noch deutlicher herauszustellen:
[mm]R(t)\ =\ -\frac{a}{N_0}*t\,+\,\left(\bruch{1}{N_0} \right)[/mm]
Mir ist allerdings der Sinn der Aufgabe doch nicht so recht
klar geworden, da man ja nur die prinzipielle Nicht-Linearität
des Zusammenhangs durch solche Reziprok-Transformationen
eben auf diese Transformationen abschiebt ...
LG, Al-Chwarizmi
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Vielen herzlichen Dank für deine Hilfe!
Also der Sinn der Aufgabe ist ihre Fortsetzung:
(Das ist hier keine Matrix, sondern eine einfache Tabelle. Konnte es nicht anders darstellen.)
[mm]
\begin{vmatrix}
Jahr& 1800& 1850& 1900& 1920& 1940& 1960& 1980& 2000 \\
Zeit &0& 50& 100& 120& 140& 160& 180& 200 \\
N& 0,959& 1,22& 1,62& 1,86& 2,26& 3,03& 4,51& 6,08
\end{vmatrix}[/mm]
Und die Fortsetzung der Aufgabe lautet: Wie lautet die Tabelle fur die transformierten Variablen?
Ich dachte mir, man nimmt sowohl für die Zeit als auch für N die Reziproken Werte. Wäre das richtig?
Vielen Dank nochmal, dass du mir hilfst!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Mo 07.01.2013 | | Autor: | leduart |
HHallo
nein, du musst nur 1/N gegen t' auftragen, dannkannst du aus der SSteigung direkt [mm] a/N_0 [/mm] ablesen, dazu dient diese "linearisierung"
allerdings ist deine Funktion nicht linear, sondern affin, soll mansie wirklich linearisieren, musst du noch t durch t' ersetzen um eine Gleichung R(t')=b*t' zu haben, allerdings muesste man dazu a kennen,was ja bei der Tabelle noch unbekannt ist.
deshalb denke ich, dass gemeint ist 1?n gegen t aufzutragen.
Gruss leduart
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Vielen Dank für deine Antwort! Du meinst ja graphisch darstellen, oder? Ich mache das gleich und melde mich dann. Auf der x-Achse dann t und auf der y-Achse 1/N.
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Hallo, ich hätte Frage an dich. Es wird danach gefragt, wie die Tabelle fur die transformierten Variablen aussieht. Jahre und t ändern sich sowieso nicht, sondern nur N. D.h. für Jahre und t kann ich die alten Werte einfach übernehmen bzw. abschreiben und für N nehme ich für jeden Wert den reziproken Wert bzw. 1/N, gell? D.h. ich muss nichts graphisch auftragen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:40 Mo 07.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, aber ich wuerde es trotzdem dann auftragen, um zu sehen ob es in etwa eine Gerade ist, und daraus a und [mm] N_0 [/mm] ablesen.
Gruss leduart
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Vielen Dank für deine Hilfe! Ja, das mache ich, man sieht aber auch halt, dass die Funktion kleiner wird im Lauf der Zeit von den Werten her.
Jetzt hätte ich noch eine Frage zur ursprünglichen Aufgabe:
Bestimmen Sie fur die Parameter [mm]N_0[/mm] und a Naherungswerte mit Hilfe der Regressionsgeraden zu der linearisierten Gleichung.
Mein Vorschlag: Mit der Regressionsgeraden kenne ich mich aus, aber welche Werte muss ich benutzen? t und 1/N (nicht [mm]N_0[/mm])? Also quasi das arithemetische Mittel von t und von N, dann die Varianz der Messreihe, heißt also der Werte 1/N, die ich erhalten habe, die Kovarianz und dann alles in die Formel für die Regressionsgerade einsetzen? Irgendwie blicke ich da nicht durch, aber meiner Meinung nach ist das die einzige Möglichkeit. Also man muss auf jeden Fall die 1/N-Werte und t benutzen, oder?
Vielen Dank nochmal, dass ihr mir hier so viel helft!
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> Vielen Dank für deine Hilfe! Ja, das mache ich, man sieht
> aber auch halt, dass die Funktion kleiner wird im Lauf der
> Zeit von den Werten her.
>
> Jetzt hätte ich noch eine Frage zur ursprünglichen
> Aufgabe:
>
> Bestimmen Sie fur die Parameter [mm]N_0[/mm] und a Naherungswerte
> mit Hilfe der Regressionsgeraden zu der linearisierten
> Gleichung.
>
> Mein Vorschlag: Mit der Regressionsgeraden kenne ich mich
> aus, aber welche Werte muss ich benutzen? t und 1/N (nicht
> [mm]N_0[/mm])? Also quasi das arithemetische Mittel von t und von N,
> dann die Varianz der Messreihe, heißt also der Werte 1/N,
> die ich erhalten habe, die Kovarianz und dann alles in die
> Formel für die Regressionsgerade einsetzen? Irgendwie
> blicke ich da nicht durch, aber meiner Meinung nach ist das
> die einzige Möglichkeit. Also man muss auf jeden Fall die
> 1/N-Werte und t benutzen, oder?
>
> Vielen Dank nochmal, dass ihr mir hier so viel helft!
Natürlich musst du dazu von den Werten für t und [mm] \frac{1}{N}
[/mm]
ausgehen. Um mir einen Überblick zu verschaffen, habe ich
z.B. die Listen L1 = {0,50,100,120, ..... ,200} und
L2 = {1/0.959, 1/1.22, 1/1.62, 1/1.86; ..... ,1/6.08}
in den GTR eingegeben und dann darauf die eingebaute
LinReg - Funktion angesetzt.
LG, Al-Chwarizmi
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