Lin. hom. DGL 2. Ord. < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:19 Do 04.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Lösen Sie das Anfangswertproblem
[mm] (t-1)*u^{..}-t*u^{.}+u=0, [/mm] mit u(0)=1 und [mm] u^{.}(0)=\wurzel{2} [/mm] |
Hi Leute,
bezüglich dieser Aufgabe bräuchte ich bitte eine kleine Hilfe bei meinem Lösungsansatz. Mein bisheriger Ansatz lautet:
(1) [mm] (x-1)*y^{,,}-xy^{,}+y=0, [/mm] mit y(0)=1 und [mm] y^{,}(0)=\wurzel{2} [/mm] sowie [mm] t\hat=x [/mm] und [mm] u\hat=y
[/mm]
(2) [mm] (x-1)*y^{,,}-xy^{,}+y=0\gdw y^{,,}-\bruch{xy^{,}}{(x-1)}+\bruch{y}{(x-1)}=0 [/mm]
(3) Nun würde [mm] y_{1}=x [/mm] als eine Lösung vermuten, da es sich hier um eine lineare Differentialgleichung handelt.
(4) Gemäß
[mm] y_{2}(x)=y_{1}(x)\integral_{}^{}{\bruch{1}{y_{1}^{2}(x)}e^{-\integral_{}^{}{\bruch{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}dx}}dx}
[/mm]
und
[mm] y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}, [/mm] mit [mm] c_{1},c_{2}\in\IR [/mm]
würde ich die Gesamtlösung der Differentialgleichung berechnen. Wie aber fließen nun die Anfangsbedingungen mit in die Berechnungen ein?
Nochmal:
(1) Stimmt die vermutete Lösung [mm] y_{1}=x?
[/mm]
(2) Wie, bzw. wo muss ich bei dieser Berechnung die angegebenen Anfangsbedingungen u(0)=1 und [mm] u^{.}(0)=\wurzel{2} [/mm] berücksichtigen.
Über hilfreiche Tipps würde ich mich sehr freuen. Gruß,
Marcel
|
|
| |
|
Hallo Marcel08,
> Lösen Sie das Anfangswertproblem
>
> [mm](t-1)*u^{..}-t*u^{.}+u=0,[/mm] mit u(0)=1 und
> [mm]u^{.}(0)=\wurzel{2}[/mm]
> Hi Leute,
>
> bezüglich dieser Aufgabe bräuchte ich bitte eine kleine
> Hilfe bei meinem Lösungsansatz. Mein bisheriger Ansatz
> lautet:
>
>
> (1) [mm](x-1)*y^{,,}-xy^{,}+y=0,[/mm] mit y(0)=1 und
> [mm]y^{,}(0)=\wurzel{2}[/mm] sowie [mm]t\hat=x[/mm] und [mm]u\hat=y[/mm]
>
>
> (2) [mm](x-1)*y^{,,}-xy^{,}+y=0\gdw y^{,,}-\bruch{xy^{,}}{(x-1)}+\bruch{y}{(x-1)}=0[/mm]
>
>
> (3) Nun würde [mm]y_{1}=x[/mm] als eine Lösung vermuten, da es sich
> hier um eine lineare Differentialgleichung handelt.
>
>
> (4) Gemäß
>
> [mm]y_{2}(x)=y_{1}(x)\integral_{}^{}{\bruch{1}{y_{1}^{2}(x)}e^{-\integral_{}^{}{\bruch{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}dx}}dx}[/mm]
>
> und
>
> [mm]y=c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2},[/mm] mit [mm]c_{1},c_{2}\in\IR[/mm]
>
> würde ich die Gesamtlösung der Differentialgleichung
> berechnen. Wie aber fließen nun die Anfangsbedingungen mit
> in die Berechnungen ein?
>
>
> Nochmal:
>
> (1) Stimmt die vermutete Lösung [mm]y_{1}=x?[/mm]
Ja, das ist eine Lösung der DGL.
>
> (2) Wie, bzw. wo muss ich bei dieser Berechnung die
> angegebenen Anfangsbedingungen u(0)=1 und
> [mm]u^{.}(0)=\wurzel{2}[/mm] berücksichtigen.
>
Ich berücksichtige die Anfangsbedingungnen immer zuletzt:
[mm]y\left(0\right)=c_{1}*y_{1}\left(0\right)+c_{2}*y_{2}\left(0\right)[/mm]
[mm]y^{,}\left(0\right)=c_{1}*y^{,}_{1}\left(0\right)+c_{2}*y^{,}_{2}\left(0\right)[/mm]
>
>
> Über hilfreiche Tipps würde ich mich sehr freuen. Gruß,
>
>
>
>
>
> Marcel
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:01 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Danke schön. 
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Fr 05.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo MathePower,
hier würde ich nur noch gerne wissen, ob sowohl die Gesamtlösung der DGL als auch die Lösung der Anfangswertproblems von mir richtig berechnet worden ist.
Wir haben
[mm] y^{,,}-\bruch{xy^{,}}{(x-1)}+\bruch{y}{(x-1)}=0 [/mm]
mit einer Lösung [mm] y_{1}(x)=x
[/mm]
Gemäß
[mm] y_{2}(x)=y_{1}(x)\integral_{}^{}{\bruch{1}{y_{1}^{2}(x)}e^{-\integral_{}^{}{\bruch{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}dx}}dx}
[/mm]
erhalten wir
[mm] y_{2}(x)=x*\integral_{}^{}{\bruch{1}{x^{2}}*e^{ln(x-1)+(x-1)}dx}
[/mm]
mit [mm] a_{1}(x)=-\bruch{x}{x-1} [/mm] und [mm] a_{2}(x)=1
[/mm]
Nach Auflösung des äußeren Integrals
[mm] x*\bruch{1}{e}\integral_{}^{}{\bruch{1}{x^{2}}(x-1)*e^{x}dx}=x*\bruch{1}{e}*e^{x}*\bruch{1}{x}
[/mm]
erhalten wir schließlich
[mm] y_{2}(x)=e^{x-1} [/mm]
Die Gesamtlösung lautet also gemäß [mm] y(x)=c_{1}y_{1}(x)+c_{2}y_{2}(x) [/mm]
(1) [mm] y(x)=c_{1}x+c_{2}e^{x-1}, [/mm] mit [mm] c_{1},c_{2}\in\IR
[/mm]
Differentation liefert:
(2) [mm] y^{,}(x)=c_{1}+c_{2}e^{x-1}
[/mm]
Durch Einsetzen von y(0)=1 in (1) und [mm] y^{,}(0)=\wurzel{2} [/mm] in (2) und anschließender Umformung erhalten wir
für [mm] c_{1}=\wurzel{2} [/mm] und für [mm] c_{2}=e
[/mm]
Einsetzen und umformen liefert
[mm] y(x)=\wurzel{2}x+e^{x}
[/mm]
Ich bedanke mich! Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hallo Marcel08,
> Hallo MathePower,
>
> hier würde ich nur noch gerne wissen, ob sowohl die
> Gesamtlösung der DGL als auch die Lösung der
> Anfangswertproblems von mir richtig berechnet worden ist.
>
>
>
> Wir haben
>
>
> [mm]y^{,,}-\bruch{xy^{,}}{(x-1)}+\bruch{y}{(x-1)}=0[/mm]
>
>
> mit einer Lösung [mm]y_{1}(x)=x[/mm]
>
>
>
> Gemäß
>
>
> [mm]y_{2}(x)=y_{1}(x)\integral_{}^{}{\bruch{1}{y_{1}^{2}(x)}e^{-\integral_{}^{}{\bruch{a_{1}(x)}{a_{2}(x)}dx}}dx}[/mm]
>
>
>
> erhalten wir
>
>
> [mm]y_{2}(x)=x*\integral_{}^{}{\bruch{1}{x^{2}}*e^{ln(x-1)+(x-1)}dx}[/mm]
>
>
> mit [mm]a_{1}(x)=-\bruch{x}{x-1}[/mm] und [mm]a_{2}(x)=1[/mm]
>
>
>
> Nach Auflösung des äußeren Integrals
>
>
> [mm]x*\bruch{1}{e}\integral_{}^{}{\bruch{1}{x^{2}}(x-1)*e^{x}dx}=x*\bruch{1}{e}*e^{x}*\bruch{1}{x}[/mm]
>
>
>
> erhalten wir schließlich
>
>
> [mm]y_{2}(x)=e^{x-1}[/mm]
>
>
>
> Die Gesamtlösung lautet also gemäß
> [mm]y(x)=c_{1}y_{1}(x)+c_{2}y_{2}(x)[/mm]
>
>
> (1) [mm]y(x)=c_{1}x+c_{2}e^{x-1},[/mm] mit [mm]c_{1},c_{2}\in\IR[/mm]
>
>
>
> Differentation liefert:
>
>
> (2) [mm]y^{,}(x)=c_{1}+c_{2}e^{x-1}[/mm]
>
>
>
> Durch Einsetzen von y(0)=1 in (1) und [mm]y^{,}(0)=\wurzel{2}[/mm]
> in (2) und anschließender Umformung erhalten wir
>
>
> für [mm]c_{1}=\wurzel{2}[/mm] und für [mm]c_{2}=e[/mm]
>
[mm]c_{1}[/mm] stimmt nicht, da
[mm]y'\left(0\right)=\wurzel{2}+e^{1}*e^{0-1} \not= \wurzel{2}[/mm]
Daher muß
[mm]c_{1}=\wurzel{2}\red{-1}[/mm]
sein.
>
>
> Einsetzen und umformen liefert
>
>
> [mm]y(x)=\wurzel{2}x+e^{x}[/mm]
>
Demzufolge dann auch
[mm]y\left(x\right)=\left(\wurzel{2}-1\right)x+e^{x}[/mm]
>
>
> Ich bedanke mich! Gruß,
>
>
>
>
>
> Marcel
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:33 So 07.12.2008 | | Autor: | Marcel08 |
Ich danke dir für deine Hilfe.
|
|
|
|
