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Hallo!
Mir ist eingenlich die Prozedur klar, bis auf den Schritt, wo die Lösungen der homogenen Gleichung bestimmt werden sollen:
[mm] ax+by=0 [/mm]
Sei g der größte gemeinsame Teiler von a und b, so gilt:
[mm] a=g*a' [/mm]
[mm] b=g*b' [/mm]
Dann kann man auch schreiben:
[mm]a'x=-b'y[/mm]
Warum kann man jetzt einfach sagen dass die Lösungen [mm] x=b't [/mm]und [mm] y=-a't [/mm] sind, wobei [mm] t \in Z[/mm]? Als Erklälrung steht bei Wikipedia:"Da b' und a' teilerfremd sind ist y durch a' teilbar und x durch b'...."
Was heißt das und wiso fällt plötzlich eine Variable weg?
Hat es im konkreten Fall z.B : 3=a=a'und b=5=b' damit zutun, dass man
3x=-5y beim Umformen zwar [mm] x=\frac{-5y}{3} [/mm] schreiben kann, da aber nur Lösungen in Z gesucht sind und y immer ein Vielfaches von 3 sein muss, man eifach y/3=t setzt?Dann hat man die Lösungen doch nur auf die in Z reduziert.
Könnte mir das bitte jemand ausführlicher erklären?
Danke!
Anglika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 So 04.01.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Angelika!
> Mir ist eingenlich die Prozedur klar, bis auf den Schritt,
> wo die Lösungen der homogenen Gleichung bestimmt werden
> sollen:
>
> [mm]ax+by=0[/mm]
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> Sei g der größte gemeinsame Teiler von a und b, so gilt:
>
> [mm]a=g*a'[/mm]
>
> [mm]b=g*b'[/mm]
>
> Dann kann man auch schreiben:
>
> [mm]a'x=-b'y[/mm]
>
> Warum kann man jetzt einfach sagen dass die Lösungen [mm]x=b't [/mm]und
> [mm]y=-a't[/mm] sind, wobei [mm]t \in Z[/mm]? Als Erklälrung steht bei
> Wikipedia:"Da b' und a' teilerfremd sind ist y durch a'
> teilbar und x durch b'...."
>
> Was heißt das und wiso fällt plötzlich eine Variable weg?
Du gehst doch an dieser Stelle davon aus, dass $a'$ und $b'$ keinen gemeinsamen Teiler (außer 1) haben. Da $a'x=-b'y$ ist und $b'y$ durch $b'$ teilbar ist, muss auch $a'x$ durch $b'$ teilbar sein. $a'$ ist es nicht, also muss $x$ durch $b'$ teilbar sein, und damit kannst du $x=b't$ schreiben, woraus durch Einsetzen $y=-a't$ folgt.
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> Hat es im konkreten Fall z.B : 3=a=a'und b=5=b' damit
> zutun, dass man
> 3x=-5y beim Umformen zwar [mm]x=\frac{-5y}{3} [/mm] schreiben
> kann, da aber nur Lösungen in Z gesucht sind und y immer
> ein Vielfaches von 3 sein muss, man eifach y/3=t setzt?Dann
> hat man die Lösungen doch nur auf die in Z reduziert.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Rainer
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