Lin. Abh. mit Gauss prüfen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Di 13.10.2009 | | Autor: | Bling |
| Aufgabe | Bestimmen Sie in den folgenden vier Fälen mit dem guassverfahren, ob die Vektoren linear abhängig, linear unabhängig und ob sie erzeugend sind.
a) [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 }, \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
b) [mm] \pmat{ 3 \\ 2 \\ 1 }, \pmat{ -2 \\ 1 \\ 2}, \pmat{ 1 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
c) [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 }, \pmat{ 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 }, \pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 }
[/mm]
d) [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 }, \pmat{ -1 \\ 1 \\ 1 }, \pmat{ 1 \\ -1 \\ 1 }, \pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] |
Kann mir jemand erklären wie man mit Hilfe des Gaussverfahrens die Lineare Abhängigkeit überprüfen kann. Und woran man sieht ob die Vektoren erzeugend sind oder nicht.
Ich weiss, dass die Vektoren (v1, v2, ...,vn) linear unabhängig sind, wenn alle Faktoren (a1, a2, ..., an) in der Gleichung a1v1+a2v2+...+anvn=0 sind.
Wenn ich nun aber die Gleichung für a) wie folgt erstelle:
[mm] a1\vektor{1 \\ 1 \\1} [/mm] + [mm] a2\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] = 0
oder das Gleichungssystem:
1 0 |0
1 0 |0
1 0 |0
Dann müssen a1 und a2 beide Null sein. Daraus folgt doch, dass die Vektoren linear unabhängig sind. Dem zufolge müssen ja die Vektoren aus den Aufgaben b) und c) auch linear unabhängig sein, weil sich an den Nullen auf der rechten Seite des Gleichungssystems nie etwas ändert.
nur für d) gilt das nicht denn hier haben wir 4 Vektoren aber wir befinden uns in [mm] \IR^{3}, [/mm] draus folgt, dass die Vektoren linear abhängig sind.
Hoffe meine überlegungen zur lin. Abhängigkeit sind korrekt.
Was ich aber nicht ganz verstehe ist das mit dem Erzeugendensystem.
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> Bestimmen Sie in den folgenden vier Fälen mit dem
> guassverfahren, ob die Vektoren linear abhängig, linear
> unabhängig und ob sie erzeugend sind.
>
> a) [mm]\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 }, \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
> b) [mm]\pmat{ 3 \\ 2 \\ 1 }, \pmat{ -2 \\ 1 \\ 2}, \pmat{ 1 \\ -1 \\ 1}[/mm]
>
> c) [mm]\pmat{ 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 }, \pmat{ 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1 }, \pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1 }[/mm]
>
> d) [mm]\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 }, \pmat{ -1 \\ 1 \\ 1 }, \pmat{ 1 \\ -1 \\ 1 }, \pmat{ 1 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
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> Kann mir jemand erklären wie man mit Hilfe des
> Gaussverfahrens die Lineare Abhängigkeit überprüfen
> kann.
Hallo,
wenn die Vektoren [mm] \vec{v_1},...,\vec{v_n} [/mm] linear unabhängig sind, dann hast die Gleichung
[mm] a_1\vec{v_1}+,...+ \vec{v_n}=\vec{0} [/mm] nur (!) die Lösung [mm] a_1=...=a_n=0.
[/mm]
In der Koeffizientenmatrix des zugehörigen Gleichungssystems (Spaltenvektoren nebeneinanderschreiben) erkennst Du dies daran, daß der Rang der Matrix=Anzahl der Spalten ist.
> Und woran man sieht ob die Vektoren erzeugend sind
> oder nicht.
Wenn die Vektoren den Raum [mm] \IR^n [/mm] erzeugen sollen, müssen es mindestens n Stück sein, sonst braucht man gar nicht anzufangen.
Wenn der Rang der Koeffizientenmatrix =n ist, (dh. n linear unabhängige Spalten), dann sind die Vektoren ein Erzeugendensystem des [mm] \IR^n.
[/mm]
>
> Ich weiss, dass die Vektoren (v1, v2, ...,vn) linear
> unabhängig sind, wenn alle Faktoren (a1, a2, ..., an) in
> der Gleichung a1v1+a2v2+...+anvn=0 sind.
> Wenn ich nun aber die Gleichung für a) wie folgt
> erstelle:
>
> [mm]a1\vektor{1 \\ 1 \\1}[/mm] + [mm]a2\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm] = 0
>
> oder das Gleichungssystem:
>
> 1 0 |0
> 1 0 |0
> 1 0 |0
>
> Dann müssen a1 und a2 beide Null sein.
Nein.
Zunächst mal solltest Du die Matriz in Zeilenstufenform bringen [mm] \pmat{1&0\\1&0\\1&0} [/mm] --> [mm] pmat{1&0\\0&0\\0&0}.
[/mm]
Es ist [mm] a_1=0, [/mm] jedoch kannst Du [mm] a_2 [/mm] beliebig wählen, etwa [mm] a_2 [/mm] =5.
> nur für d) gilt das nicht denn hier haben wir 4 Vektoren
> aber wir befinden uns in [mm]\IR^{3},[/mm] draus folgt, dass die
> Vektoren linear abhängig sind.
Ja.
Gruß v. Angela
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