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Ich möchte folgende Limiten berechnen bzw. habe es auch schon gemacht:
1) [mm] \limes_{x \to 0}\bruch{\ln(1+x)}{x^n} [/mm] = [mm] \bruch{0}{1} [/mm] = 0
2) [mm] \limes_{x \to \infty} x^{x^{x^2}} [/mm]
Muss ich hier vielleicht mit ln erweitern? Hab derzeit grad gar keinen Plan, weil derzeit wäre es ja unendlich hoch unendlich.....also eine unbestimmte Form?
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Jo,
sicher, dass das beim ersten GW nicht [mm] $\lim\limits_{\red{x\rightarrow 0}}$ [/mm] heißt?
In diesem Falle bekämest du den unbestimmten Ausdruck [mm] \frac{0}{0}
[/mm]
Du kannst also den GW mit Meister l'Hospital angehen.
Bei der zweiten hilft es vllt, das Monster umzuschreiben nach der Definition der allg. Potenz [mm] ($a^b=e^{b\cdot{}\ln(a)}$)
[/mm]
Bin da aber nicht sicher
Gruß
schachuzipus
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ja, entschuldigung, es heißt
[mm] \limes_{x \to 0}\bruch{\ln{1+x}}{x^n} [/mm] = [mm] \limes_{x \to 0}\bruch{\bruch{1}{1+x}}{n x^{n-1}} [/mm] ... und jetzt???
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> ja, entschuldigung, es heißt
>
> [mm]\limes_{x \to 0}\bruch{\ln{1+x}}{x^n}[/mm] = [mm]\limes_{x \to 0}\bruch{\bruch{1}{1+x}}{n x^{n-1}}[/mm]
> ... und jetzt???
Nää, Zähler und Nenner getrennt (!!) ableiten!!
[mm] $\Rightarrow \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1}{nx^{n-1}}=\frac{1}{0}=\infty$
[/mm]
Damit ist auch [mm] $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1)+x}{x^n}=\infty$
[/mm]
lg
schachuzipus
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sorry schlecht geschrieben, es gehört eine klammer:
[mm] \limes_{x \to 0}\bruch{\ln{(1+x)}}{x^n}
[/mm]
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jo, ok - ändert aber nix am Ergebnis 
dann kannst du bei deiner obigen Rechnung anknüpfen:
[mm] $\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{1+x}}{nx^{n-1}}=\frac{1}{0}=\infty$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Verständnisfrage: Den Limes so wie gewohnt auf diese Form umschreiben: [mm] \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{1+x}}{nx^{n-1}} [/mm] = [mm] \lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{\bruch{1}{x}}{\bruch{1}{x}+1}}{nx^{n-1}} [/mm] macht hier keinen Sinn, weil das x nach 0 und nicht nach unendlich geht?
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| Status: |
(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:52 Mo 14.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe-tu-münchen!
Richtig erkannt!
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 01:04 Di 15.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Umschreibung wäre nur für x gegen [mm] \infty [/mm] vernunftig und richtig, x=0 kann man im Zählerbruch einfach einsetzen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Mo 14.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe-tu-münchen!
Ist der Grenzwert der 2. Aufgabe mit [mm] $x\rightarrow\red{\infty}$ [/mm] richtig?
Denn dann geht der gesamte Term natürlich auch gegen [mm] $+\infty$ [/mm] .
Ich vermute hier aber als gesuchten Grenzwert [mm] $x\rightarrow [/mm] 0^+$ ...
Gruß
Loddar
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nein hier steht wirklich, dass x gegen unendlich gehen soll. wenn es gegen null geht, so wie du geschrieben hast, müsste man dann De l'Hospital anwenden?
Ich habe noch so ein ähnliches Beispiel gefunden, bei dem ich zu keiner Lösung vorstoße:
[mm] \limes_{x \to \infty} (x^{2} [/mm] - 1 [mm] )^{\ln(x)}
[/mm]
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Ich habe mal folgendes gemacht:
[mm] x^{x^{2}} [/mm] = [mm] e^{x^2 \cdot{} \ln(x)}
[/mm]
Davon habe ich jetzt den Limes gebildet:
[mm] \limes_{x \to \infty} x^{2} \cdot{} \ln(x) [/mm] = [mm] \infty \cdot{} \infty [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Muss ich hier irgendwie mein vorherige Substitution wieder zurück substituieren?
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Hm in dem Heuser Buch wird so argumentiert (also in einem ähnlichen Beispiel mit [mm] x^x
[/mm]
[mm] \limes_{x \to \infty} exp(x^{2} \cdot{} \ln(x)) [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Und wenn ich [mm] \infty [/mm] in [mm] x^x [/mm] einsetze bekomme ich ebenfalls [mm] \infty, [/mm] also sollte der Grenzwert [mm] \infty [/mm] sind oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:00 Di 15.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe-tu-münchen!
> Und wenn ich [mm]\infty[/mm] in [mm]x^x[/mm] einsetze bekomme ich ebenfalls [mm]\infty,[/mm] also sollte der
> Grenzwert [mm]\infty[/mm] sind oder?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:58 Di 15.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe-tu-münchen!
Der Vollständigkeit halber solltest Du dann schon erwähnen, dass auch gilt [mm] $\limes_{z\rightarrow\infty}e^z [/mm] \ = \ [mm] \infty$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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OK, ich glaube ich habe mich auch geirrt.
Ich muss [mm] \exp(\infty) [/mm] also [mm] e^{\infty} [/mm] rechnen und das ist wieder [mm] \infty. [/mm] Mein voriger Post mit einsetzen in [mm] x^x [/mm] war falsch. So denke ich zumindest....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:01 Di 15.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathe-tu-münchen!
Ich würde hier kürzer über " [mm] $\infty^\infty [/mm] \ = \ [mm] \infty$ [/mm] " argumentieren.
Gruß
Loddar
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