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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Mo 10.11.2008 | | Autor: | wee |
| Aufgabe | | Bestimme den Grenzwert der Folge [mm] \wurzel{n}(\wurzel{n+1}-\wurzel{n}) [/mm] |
Hallo, bei der Aufgabe weiss ich bereits, dass die Folge gegen 1/2 konvergiert, aber der Beweis will mir nicht gelingen:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Dann gilt [mm] |\bruch{1}{2}- \wurzel{n}(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})| [/mm] = [mm] |\bruch{1}{2}- \wurzel{n}(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})* \bruch{(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}{(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}| [/mm] = [mm] |\wurzel{n}* \bruch{n+1-n}{(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}- \bruch{1}{2}| [/mm] = [mm] |\bruch{2\wurzel{n}-\wurzel{n+1}-\wurzel{n}}{2(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}| [/mm] = [mm] |\bruch{-\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}{2(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})}| [/mm]
da muss aber irgendwo ein Fehler drin stecken, denn der letzte Ausdruck ist ja 1/2 und nicht 0, bzw. kann nicht gegen eine Nullfolge nach oben abgeschätzt werden.
Ich bin für jede Hilfe dankbar
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Hallo wee,
musst du das denn unbedingt mit dem [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] machen?
Die Folge bietet sich ja geradezu an, die Grenzwertsätze zu benutzen.
Ganz ähnlich deinen Umformungen erweitere [mm] $a_n=\sqrt{n}(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})$ [/mm] mit [mm] $\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$
[/mm]
Dann ein bisschen umformen, im Nenner [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] ausklammern und du hast gezeigt, dass der GW [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] ist
Wenn du's unbedingt mit dem [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] machen musst, musst du deinen letzten (und richtigen) Ausdruck noch weiter nach oben abschätzen, um das gesuchte [mm] $N(\varepsilon)$ [/mm] zu konstruieren.
Dazu kannst du den Zähler vergrößern oder den Nenner verkleinern.
Dein letzter Ausdruck ist im übrigen nicht [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] und er strebt auch nicht dagegen, er muss ja gegen 0 streben, was er auch tut, schaue dir nochmal den Zähler genauer an
Aber eigentlich geht man solche Aufgaben immer mit den GW-Sätzen an, dazu sind sie ja da, man beweist einmal ihre Gültigkeit und kann sich so die mühseligen Abschätzungen ersparen ...
LG
schachuzipus
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