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Forum "Folgen und Reihen" - Limes mit Ln und Wurzel
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Limes mit Ln und Wurzel: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:00 Mi 25.11.2009
Autor: AbraxasRishi

Aufgabe
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{\sqrt[3]{x^3+1}-x}{2ln(x)-ln(x^2+1)}[/mm]

Hallo!

Noch ein Limes der ohne L'Hospital zu berechnen ist und bei dem ich nach Erweiterung zumindest so weit gekommen bin:


[mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{ln(\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}})(\sqrt[3]{(x^3+1)^2}+\sqrt[3]{x^3+1}x+x^2}[/mm]

Ich habe keine Ahnung wie ich den Logarithmus verändern könnte, dass es mir passt....wahrscheinlich übersehe ich was.
Hat jemand einen Tipp?

Gruß

Angelika


        
Bezug
Limes mit Ln und Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:45 Mi 25.11.2009
Autor: Leopold_Gast

Ich könnte mir das Folgende vorstellen. Man substituiert [mm]x = \frac{1}{t}[/mm] und führt den Grenzübergang [mm]t \to 0+0[/mm] durch:

[mm]\frac{\sqrt[3]{x^3 + 1} - x}{2 \ln x - \ln \left( x^2 + 1 \right)} = - \frac{\sqrt[3]{t^3 + 1} - 1}{t \ln \left( t^2 + 1 \right)}[/mm]

Mit Hilfe der binomischen Reihe im Zähler und der Logarithmusreihe im Nenner findet man daraus:

[mm]- \frac{ \frac{1}{3} \, t^3 + O(t^6)}{t^3 + O(t^5)} = - \frac{ \frac{1}{3} + O(t^3)}{1 + O(t^2)} \to - \frac{1}{3} \ \ \mbox{für} \ \ t \to 0+0[/mm]

Die Einzelheiten der Rechnung seien dir überlassen.

Bezug
                
Bezug
Limes mit Ln und Wurzel: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 08:28 Do 26.11.2009
Autor: AbraxasRishi

Danke für deinen Vorschlag!

Ich würde ihn auch gerne verwenden, wenn wir die Logarithmusreihe voraussetzen dürften. Geht das nicht elementarer?

Angelika

Bezug
                        
Bezug
Limes mit Ln und Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:26 Do 26.11.2009
Autor: reverend

Hallo Angelika,

ihr scheint einen etwas übereifrigen Aufgabensteller zu haben...

Ich sehe keinen Weg, wie man das elementar lösen kann.

Der Grenzwert scheint übrigens [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] zu sein. ;-)

lg
reverend

Bezug
                                
Bezug
Limes mit Ln und Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:37 Do 26.11.2009
Autor: AbraxasRishi

Der Witz ist:Ich studiere gar nicht Mathematik!!!

Bezug
                                        
Bezug
Limes mit Ln und Wurzel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:39 Do 26.11.2009
Autor: reverend

Ich auch nicht...
Dafür sind die Aufgaben aber echt ziemlich heftig!
Viel Erfolg trotzdem.

Bezug
        
Bezug
Limes mit Ln und Wurzel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:29 Do 26.11.2009
Autor: Al-Chwarizmi


>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\ \frac{\sqrt[3]{x^3+1}-x}{2\,ln(x)-ln(x^2+1)}[/mm]
>  Hallo!
>  
> Noch ein Limes der ohne L'Hospital zu berechnen ist und bei
> dem ich nach Erweiterung zumindest so weit gekommen bin:
>  
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\ \frac{1}{ln(\frac{1}{1+\frac{1}{x^2}})(\sqrt[3]{(x^3+1)^2}+\sqrt[3]{x^3+1}\,x+x^2)}[/mm]
>  
> Ich habe keine Ahnung wie ich den Logarithmus verändern
> könnte, dass es mir passt....wahrscheinlich übersehe ich
> was.
>  Hat jemand einen Tipp?
>  
> Gruß
>  
> Angelika


Guten Abend Angelika,

nehmen wir uns diesen Patienten nochmal vor.
Wenn wir [mm] w=w(x):=\sqrt[3]{x^3+1} [/mm] setzen, so ist also gesucht:

      [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}\ \frac{-1}{(w^2+w*x+x^2)*ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}$ [/mm]

oder:

      [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}\ \frac{-1}{\red{(\frac{w^2}{x^2}+\frac{w}{x}+1)}*\blue{x^2*ln\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}}$ [/mm]

Nun ist leicht zu zeigen, dass [mm] \frac{w}{x} [/mm] gegen 1 strebt und
damit der rote Klammerausdruck gegen 3.
Bleibt also der blaue Term zu untersuchen. Mit [mm] t:=\frac{1}{x^2} [/mm]
ist der Grenzwert

       [mm] \limes_{t\downarrow 0}\ \frac{ln(1+t)}{t} [/mm]

zu bestimmen. Zu diesem Zweck betrachten wir die
Funktion $f(x)=ln(x)$ an der Stelle $x=1$. Es gilt [mm] f'(x)=\frac{1}{x} [/mm]
und also $f'(1)=1$ und damit

      [mm] \limes_{t\downarrow 0}\ \frac{ln(1+t)-\overbrace{ln(1)}^{0}}{t}=1 [/mm]


LG     Al



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