Limes inferior < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Es seien (an)n∈N und (bn)n∈N beschränkte Folgen reeller Zahlen mit [mm] a_n [/mm] ≤ [mm] b_n [/mm] für alle n ∈ N. Zeigen Sie:
a) liminf [mm] a_n [/mm] ≤ liminf [mm] b_n, [/mm] für n gegen unendlich. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
muss jetzt wie gesagt zeigen, dass wenn die Folge [mm] a_n [/mm] kleiner gleich der Folge [mm] b_n [/mm] ist, dass dann auch der Limes inferior von [mm] a_n [/mm] kleiner ist als der von [mm] b_n. [/mm]
Es ist ja gesagt, dass beide Folgen beschränkt und reell sind, d.h. es existiert eine Teilfolge, die konvergiert (Bolzano-Weierstraß). Seien a_nk und b_nk solche Teilfolgen mit ihren Grenzwerten a und b. b_nk minus a_nk ist ja stets größer gleich null. Dann ist die Differenz der Grenzwerte b minus a stets größer null. Aber wie bringe ich jetzt diesen Limes inferior da rein? Oder muss ich da irgendwie anders vorgehen? Wenn ja dann bitte nur einen Tip geben, ich versuchs dann alleine. Danke
Danke schon mal im voraus für alle Antworten.
|
|
| |
|
> Es seien (an)n∈N und (bn)n∈N beschränkte Folgen
> reeller Zahlen mit [mm]a_n[/mm] ≤ [mm]b_n[/mm] für alle n ∈ N.
> Zeigen Sie:
> a) liminf [mm]a_n[/mm] ≤ liminf [mm]b_n,[/mm] für n gegen unendlich.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo,
>
> muss jetzt wie gesagt zeigen, dass wenn die Folge [mm]a_n[/mm]
> kleiner gleich der Folge [mm]b_n[/mm] ist, dass dann auch der Limes
> inferior von [mm]a_n[/mm] kleiner gleich ist als der von [mm]b_n.[/mm]
> Es ist ja gesagt, dass beide Folgen beschränkt und reell
> sind, d.h. es existiert eine Teilfolge, die konvergiert
> (Bolzano-Weierstraß). Seien a_nk und b_nk solche Teilfolgen
> mit ihren Grenzwerten a und b. b_nk minus a_nk ist ja stets
> größer gleich null. Dann ist die Differenz der Grenzwerte b
> minus a stets größer gleich null. Aber wie bringe ich jetzt diesen
> Limes inferior da rein? Oder muss ich da irgendwie anders
> vorgehen? Wenn ja dann bitte nur einen Tip geben, ich
> versuchs dann alleine. Danke
>
> Danke schon mal im voraus für alle Antworten.
Nimm mal [mm] a_n=\bruch{1}{n^2} [/mm] oder ggf. [mm] a_n=\bruch{1}{n^2+1} [/mm] und [mm] b_n=\bruch{1}{n}
[/mm]
Da müsste Dir eigentlich schon alles deutlich werden.
Wenn nicht, such mal ein Gegenbeispiel zur Behauptung. Das hilft auch...
|
|
|
| |
|
Super Danke schön. Werde mir mal Gedanken machen mit deinem Tip. Da dran habe ich nämlich noch gar nicht gedacht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:58 Do 04.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Mit Teilfolgen kannst Du das so machen:
Sei a = lim inf [mm] a_n [/mm] und b = lim inf [mm] b_n.
[/mm]
Es ex. eine Teilfolge [mm] (b_{n_k}) [/mm] mit [mm] b_{n_k}----> [/mm] b
Die Teilfolge [mm] (a_{n_k}) [/mm] muß nicht konvergieren, enthält aber nach Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge [mm] (a_{n_k_{j}}). [/mm] sei c = lim [mm] a_{n_k_{j}}.
[/mm]
Wegen [mm] a_{n_k_{j}} \le b_{n_k_{j}} [/mm] für jedes j, folgt, da [mm] b_{n_k_{j}} [/mm] ---> b:
c [mm] \le [/mm] b.
c ist ein Häufungswert von [mm] (a_n) [/mm] , also ist a [mm] \le [/mm] c. Fazit: a [mm] \le [/mm] b.
FRED
|
|
|
|
