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| Aufgabe | Gegeben sei die Folge: [mm] a_0 [/mm] = 0, [mm] a_1 [/mm] = 1, [mm] a_n= 1/2(a_{n-1}+a_{n+2}) [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2.
Beh.: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n= [/mm] 2/3. |
Darf ich diese Aufgabe wie folgt lösen:
Für alles natürlichen Zahlen k [mm] \ge [/mm] 1 gilt: [mm] a_{k+1} [/mm] - a{k}) = 1/2 [mm] (a_{k}-a_{k-1})-a_{k} [/mm] = 1/2 [mm] (a_{k}-a_{k-1}).
[/mm]
Durch vollst. Induktion nach k -> [mm] a_{k+1} [/mm] - [mm] a_{k} [/mm] = [mm] (-1/2)^{k}...... [/mm] -> = [mm] \summe_{k=0}^{n-1} (-1/2)^{k}. [/mm] -> endliche geometrische Reihe: ...=>
lim [mm] a_n [/mm] = [mm] a_0+2/3a_1= [/mm] 0+2/3 = 2/3. -> Beh.
DANKE VORAB
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:34 So 15.11.2009 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sei die Folge: [mm]a_0[/mm] = 0, [mm]a_1[/mm] = [mm]1/2(a_{n-1}+a_{n+2})[/mm]
> für n [mm]\ge[/mm] 2.
> Beh.: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=[/mm] 2/3.
> Darf ich diese Aufgabe wie folgt lösen:
>
> Für alles natürlichen Zahlen k [mm]\ge[/mm] 1 gilt: [mm]a_{k+1}[/mm] -
> a{k}) = 1/2 [mm](a_{k}-a{k-1}-a_{k}[/mm] = 1/2 [mm](a_{k}-a_{k-1}.[/mm]
> Durch vollst. Induktion nach k -> [mm]a_{k+1}[/mm] - a{k} =
> [mm](-1/2)^{k}......[/mm] -> = [mm]\summe_{k=0}^{n-1} (-1/2)^{k}.[/mm] ->
> endliche geometrische Reihe: ...=>
> lim [mm]a_n[/mm] = [mm]a_0+2/3a_1=[/mm] 0+2/3 = 2/3. -> Beh.
>
> DANKE VORAB
Hallo,
lautet die Aufgaenstellung tatsächlich SO? (Sie wäre dann richtig interessant.)
Aber kontrolliere vorsichtshalber mal, ob die einzelnen Indices stimmen.
Gruß Abakus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:03 Mo 16.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Gegeben sei die Folge: [mm]a_0[/mm] = 0, [mm]a_1[/mm] = 1, [mm]a_n= 1/2(a_{n-1}+a_{n+2})[/mm]
Wie abakus schon sagte: da soll sicher [mm] $a_n [/mm] = [mm] \frac{1}{2} (a_{n-1} [/mm] + [mm] a_{n-2})$ [/mm] stehen.
> für n [mm]\ge[/mm] 2.
> Beh.: [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n=[/mm] 2/3.
> Darf ich diese Aufgabe wie folgt lösen:
>
> Für alles natürlichen Zahlen k [mm]\ge[/mm] 1 gilt: [mm]a_{k+1}[/mm] -
> a{k}) = 1/2 [mm](a_{k}-a_{k-1})-a_{k}[/mm] = 1/2 [mm](a_{k}-a_{k-1}).[/mm]
Das kann man aber auch lesbarer aufschreiben.
> Durch vollst. Induktion nach k -> [mm]a_{k+1}[/mm] - [mm]a_{k}[/mm] =
> [mm](-1/2)^{k}......[/mm]
Ja.
> -> = [mm]\summe_{k=0}^{n-1} (-1/2)^{k}.[/mm] ->
Was soll das sein? [mm] $a_k$?
[/mm]
> endliche geometrische Reihe: ...=>
> lim [mm]a_n[/mm] = [mm]a_0+2/3a_1=[/mm] 0+2/3 = 2/3. -> Beh.
Wo kommen da ploetzlich [mm] $a_0$ [/mm] und [mm] $a_1$ [/mm] her?
LG Felix
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