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| Aufgabe | Die relativistische Gesamtenergie ist gegeben durch $E = [mm] \gamma [/mm] m [mm] c^{2}$, [/mm] mit [mm] $\gamma [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{1-\beta^{2}}} [/mm] $ und [mm] $\beta [/mm] = [mm] \bruch{v}{c}$, [/mm] wobei $v$ die Geschwindigkeit, $c$ die Lichtgeschwindigkeit und $m$ die Ruhemasse eines Teilchens ist.
a) Bestimmen Sie den Limes $v [mm] \rightarrow [/mm] c$ in der Gesamtenergie.
b) Bestimmen Sie das Taylorpolynom vom Grad 4 von [mm] \gamma(\beta) [/mm] um die Stelle [mm] \beta [/mm] = 0.
c) Was ergibt sich daraus für die Gesamtenergie in dem Grenzfall $v [mm] \rightarrow [/mm] c$?
d) Was ist die Bedeutung des Terms [mm] $O(v^{2}) [/mm] in der Entwicklung der Gesamtenergie? |
Hallo alle miteinander, könntet ihr mal bitte überprüfen ob ich das richtig
gerechnet habe?
$E = [mm] \bruch{m\cdot c^{2}}{\wurzel{1 - (\bruch{v}{c})^{2}}}$
[/mm]
a)
[mm] \limes_{v\rightarrow c} \bruch{m\cdot c^{2}}{\wurzel{1 - (\bruch{v}{c})^{2}}} [/mm] = [mm] \bruch{m \cdot c^{2}}{0} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
b)
[mm] \gamma(\beta) [/mm] = [mm] (1-\beta^{2})^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
1. Ableitung:
[mm] \gamma^{(1)}(\beta) [/mm] = [mm] \beta \cdot (1-\beta^{2})^{-\bruch{3}{2}}
[/mm]
2. Ableitung:
[mm] \gamma^{(2)}(\beta) [/mm] = [mm] \bruch{3 \beta^{2}}{(1-\beta^{2})^{\bruch{5}{2}}} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(1-\beta^{2})^{\bruch{3}{2}}}
[/mm]
3. Ableitung:
[mm] \gamma^{(3)}(\beta) [/mm] = [mm] -15\beta^{2}(1-\beta^{2})^{-\bruch{7}{2}} [/mm] + [mm] 9\beta^{2}(1-\beta^{2})^{-\bruch{10}{2}}
[/mm]
4. Ableitung:
[mm] \gamma^{(4)}(\beta) [/mm] = [mm] -30\beta(1-\beta^{2})^{-\bruch{7}{2}} [/mm] - [mm] 105\beta^{3}(1-\beta^{2})^{-\bruch{9}{2}} [/mm] - [mm] 18\beta(1-\beta^{2})^{-\bruch{10}{2}} [/mm] + [mm] 90\beta^{3}(1-\beta^{2})^{-\bruch{12}{2}}
[/mm]
Taylorreihenentwicklung [mm] \beta [/mm] = 0:
Ich hab mal [mm] \beta [/mm] = 0 eingesetzt:
[mm] t(\beta) [/mm] := 1 + [mm] \bruch{0}{1!} [/mm] (x - 0) + [mm] \bruch{1}{2!} [/mm] (x - 0) + [mm] \bruch{0}{3!} [/mm] (x - 0) + [mm] \bruch{0}{4!} [/mm] (x - 0) + [mm] R_{n}(x)
[/mm]
[mm] t(\beta):= [/mm] 1 + [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] + [mm] R_{n}(x)
[/mm]
[mm] t(\beta) [/mm] = [mm] \bruch{2 + x}{2} [/mm] + [mm] R_{n}(x)
[/mm]
Eine Frage, muss ich laut der Aufgabenstellung das Restglied auch berechnen?
c)
$E = [mm] \bruch{m\cdot c^{2}}{\wurzel{1 - (\bruch{v}{c})^{2}}}$
[/mm]
[mm] \limes_{v\rightarrow 0} [/mm] E = [mm] \bruch{m\cdot c^{2}}{\wurzel{1 - (\bruch{v}{c})^{2}}} [/mm] = [mm] 1\cdot [/mm] m [mm] \cdot c^{2}
[/mm]
d)
Kann mir bitte jemand erklären, was hier gefragt ist?
Vielen Dank im Voraus!
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Die relativistische Gesamtenergie ist gegeben durch [mm]E = \gamma m c^{2}[/mm],
> mit [mm]\gamma = \bruch{1}{\wurzel{1-\beta^{2}}}[/mm] und [mm]\beta = \bruch{v}{c}[/mm],
> wobei [mm]v[/mm] die Geschwindigkeit, [mm]c[/mm] die Lichtgeschwindigkeit und
> [mm]m[/mm] die Ruhemasse eines Teilchens ist.
>
> a) Bestimmen Sie den Limes [mm]v \rightarrow c[/mm] in der
> Gesamtenergie.
>
> b) Bestimmen Sie das Taylorpolynom vom Grad 4 von
> [mm]\gamma(\beta)[/mm] um die Stelle [mm]\beta[/mm] = 0.
>
> c) Was ergibt sich daraus für die Gesamtenergie in dem
> Grenzfall [mm]v \rightarrow c[/mm]?
>
> d) Was ist die Bedeutung des Terms [mm]$O(v^{2})[/mm] in der
> Entwicklung der Gesamtenergie?
> Hallo alle miteinander, könntet ihr mal bitte
> überprüfen ob ich das richtig
> gerechnet habe?
>
> [mm]E = \bruch{m\cdot c^{2}}{\wurzel{1 - (\bruch{v}{c})^{2}}}[/mm]
>
> a)
> [mm]\limes_{v\rightarrow c} \bruch{m\cdot c^{2}}{\wurzel{1 - (\bruch{v}{c})^{2}}}[/mm]
> = [mm]\bruch{m \cdot c^{2}}{0}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> b)
> [mm]\gamma(\beta)[/mm] = [mm](1-\beta^{2})^{-\bruch{1}{2}}[/mm]
>
> 1. Ableitung:
> [mm]\gamma^{(1)}(\beta)[/mm] = [mm]\beta \cdot (1-\beta^{2})^{-\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> 2. Ableitung:
> [mm]\gamma^{(2)}(\beta)[/mm] = [mm]\bruch{3 \beta^{2}}{(1-\beta^{2})^{\bruch{5}{2}}}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{(1-\beta^{2})^{\bruch{3}{2}}}[/mm]
>
> 3. Ableitung:
> [mm]\gamma^{(3)}(\beta)[/mm] =
> [mm]-15\beta^{2}(1-\beta^{2})^{-\bruch{7}{2}}[/mm] +
> [mm]9\beta^{2}(1-\beta^{2})^{-\bruch{10}{2}}[/mm]
Diese Ableitung stimmt nicht.
Daher stimmt auch die 4. Ableitung nicht.
>
> 4. Ableitung:
> [mm]\gamma^{(4)}(\beta)[/mm] =
> [mm]-30\beta(1-\beta^{2})^{-\bruch{7}{2}}[/mm] -
> [mm]105\beta^{3}(1-\beta^{2})^{-\bruch{9}{2}}[/mm] -
> [mm]18\beta(1-\beta^{2})^{-\bruch{10}{2}}[/mm] +
> [mm]90\beta^{3}(1-\beta^{2})^{-\bruch{12}{2}}[/mm]
>
> Taylorreihenentwicklung [mm]\beta[/mm] = 0:
> Ich hab mal [mm]\beta[/mm] = 0 eingesetzt:
> [mm]t(\beta)[/mm] := 1 + [mm]\bruch{0}{1!}[/mm] (x - 0) + [mm]\bruch{1}{2!}[/mm] (x -
> 0) + [mm]\bruch{0}{3!}[/mm] (x - 0) + [mm]\bruch{0}{4!}[/mm] (x - 0) +
> [mm]R_{n}(x)[/mm]
> [mm]t(\beta):=[/mm] 1 + [mm]\bruch{1}{2}x[/mm] + [mm]R_{n}(x)[/mm]
> [mm]t(\beta)[/mm] = [mm]\bruch{2 + x}{2}[/mm] + [mm]R_{n}(x)[/mm]
>
> Eine Frage, muss ich laut der Aufgabenstellung das
> Restglied auch berechnen?
Laut Aufgabe ist die Berechnung des Restgliedes nicht gefordert.
>
> c)
> [mm]E = \bruch{m\cdot c^{2}}{\wurzel{1 - (\bruch{v}{c})^{2}}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{v\rightarrow 0}[/mm] E = [mm]\bruch{m\cdot c^{2}}{\wurzel{1 - (\bruch{v}{c})^{2}}}[/mm]
> = [mm]1\cdot[/mm] m [mm]\cdot c^{2}[/mm]
Für den Grenzfall [mm]v \to 0[/mm] stimmt das.
>
> d)
> Kann mir bitte jemand erklären, was hier gefragt ist?
>
>
> Vielen Dank im Voraus!
>
> Lg
Gruss
MathePower
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Super vielen Dank.
Also hier nun die hoffentlich richtige 3. Ableitung:
[mm] \bruch{9\beta + 6\beta^{3}}{(1-\beta^{2})^{\bruch{7}{2}}}
[/mm]
4. Ableitung:
[mm] \bruch{42\beta^{4} - 18\beta^{3} + 72\beta^{2} + 9}{(1-\beta^{2})^{\bruch{9}{2}}}
[/mm]
Könntest du mir das bitte noch überprüfen?
Lg
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Hallo dreamweaver,
> Super vielen Dank.
>
> Also hier nun die hoffentlich richtige 3. Ableitung:
> [mm]\bruch{9\beta + 6\beta^{3}}{(1-\beta^{2})^{\bruch{7}{2}}}[/mm]
Die 3. Ableitung stimmt immer noch nicht.
Die 3. Ableitung ergibt sich doch zu:
[mm]\bruch{9\beta}{(1-\beta^{2})^{\bruch{5}{2}}}+\bruch{k*\beta^{3}}{(1-\beta^{2})^{\bruch{7}{2}}}[/mm]
>
> 4. Ableitung:
> [mm]\bruch{42\beta^{4} - 18\beta^{3} + 72\beta^{2} + 9}{(1-\beta^{2})^{\bruch{9}{2}}}[/mm]
>
> Könntest du mir das bitte noch überprüfen?
>
> Lg
Gruss
MathePower
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Ich kann keinen Fehler finden, kann es sein dass du dich verrechnet, oder die 2. Ableitung falsch abgeschrieben hast?
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Hallo dreamweaver,
> Ich kann keinen Fehler finden, kann es sein dass du dich
Dann poste doch die einzelnen Rechenschritte,
wie Du von der 2. Ableitung auf die 3. Ableitung kommst.
> verrechnet, oder die 2. Ableitung falsch abgeschrieben
> hast?
>
Nein, das kann nicht sein.
Gruss
MathePower
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Ok,
2. Ableitung:
[mm] \bruch{1 + 2\beta^{2}}{(1-\beta^{2})^{-\bruch{5}{2}}}
[/mm]
3. Ableitung:
[mm] 4\beta (1-\beta^{2})^{-\bruch{5}{2}}+(1+2\beta^{2}) (-\bruch{5}{2}) (1-\beta^{2})^{-\bruch{7}{2}} (-2\beta)
[/mm]
[mm] 4\beta (1-\beta^{2})^{-\bruch{5}{2}} [/mm] + [mm] 5\beta (1+2\beta^{2})(1-\beta^{2})^{-\bruch{7}{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{4\beta}{(1-\beta^{2})^{\bruch{5}{2}}} [/mm] + [mm] \bruch{5\beta + 10\beta^{3}}{(1-\beta^{2})^{\bruch{7}{2}}}
[/mm]
Dann auf gemeinsamen Nenner bringen. Der Term mit der Potenz 5/2 kürzt sich weg.
[mm] \bruch{4\beta - 4\beta^{3} + 5\beta + 10\beta^{3}}{(1-\beta^{2})^{\bruch{7}{2}}}
[/mm]
Ich kann da keinen Fehler entdecken.
Lg
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Hallo, alles ok, fasse den Zähler noch zusammen, [mm] 9\beta+6\beta^3, [/mm] ich kann absolut keinen Fehler entdecken, welchen meint MathePower wohl?, Steffi
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